Se había caído un pájaro y me miraba a través de la ventana de la estufa. Se había caído un pájaro y me miraba a través de la ventana de la estufa.

Estás ya en el pasado, y antes de eso se cae el pájaro, así que tienes que usar el pluscuamperfecto.

Se había caído un pájaro y me miraba a través de la ventana de la estufa. Se había caído un pájaro y me miraba a través de la ventana de la estufa.

La frase original no está mal gramaticalmente, pero cómo la redacción está en pasado deberías conjugarla en pasado también.

Se ha caídocayó un pájaro y me mirabaó a través de la ventana de la estufa. Se cayó un pájaro y me miró a través de la ventana de la estufa.

Como lo dijiste está bien, pero es menos común de esa forma

Era verano y, por suerte, no teníamos la estufa encendida. Era verano y, por suerte, no teníamos la estufa encendida.

Abrí la puerta,(,) y el pájaro voló por la ventana hacia la libertad. Abrí la puerta(,) y el pájaro voló por la ventana hacia la libertad.

Abrí la puerta, y el pájaro voló por la ventana hacia la libertad. Abrí la puerta y el pájaro voló por la ventana hacia la libertad.

No se suele poner "," antes de un "y"

Esta mañana, el pájaro ha vuelto a la chimenea. Esta mañana, el pájaro ha vuelto a la chimenea.

Esta vez no pude verlo y tuve que quitar la estufa del conducto para rescatarlo. Esta vez no pude verlo y tuve que quitar la estufa del conducto para rescatarlo.

Verlo = loismo. Teóricamente es incorrecto pero en sitios como Madrid se usa mucho. Técnicamente debería ser: "verle"

Decidí tapar la chimenea hasta el otoño para evitar que el pájaro volviera a entrar, pero, cuando llegué arriba, descubrí un nido con dos pajaritos dentro, encima de la tela metálica que pusehabía puesto el año pasado para evitar tales ocurrencias. Decidí tapar la chimenea hasta el otoño para evitar que el pájaro volviera a entrar, pero, cuando llegué arriba, descubrí un nido con dos pajaritos dentro, encima de la tela metálica que había puesto el año pasado para evitar tales ocurrencias.

Esto es cuestión de contenido, pero ten en cuenta que una chimenea y una estufa no son lo mismo.

Decidí tapar la chimenea hasta el otoño para evitar que el pájaro volviera a entrar, pero cuando llegué arriba, descubrí un nido con dos pajaritos dentro, encima de la tela metálica que puse el año pasado para evitar tales ocurrencias. Decidí tapar la chimenea hasta el otoño para evitar que el pájaro volviera a entrar, pero cuando llegué arriba descubrí un nido con dos pajaritos dentro, encima de la tela metálica que puse el año pasado para evitar tales ocurrencias.