こどものごろはころ（or頃）にテレビで動物番組をよく見ていて、けがをしている犬とか猫とかなどを助けた日本人を感心している日本人に感動を覚えました。

とか is correct in conversation but in this kind of text など is better.
感心しました sounds a little arrogant (we tend to imagine the situation where a boss compliment his subordinate saying like 〇〇君の仕事には感心したよ）I corrected it as 感動を覚えた(moved) instead, but it is much more stronger than 感心しました in the meaning.
If I align the degree of "being moved",I would say すごいなと思っていました, 偉いなと思っていました etc, but sounds a bit conversational, so I left it as 感動を覚えました。

もちろん、日本語がはわかりませんでしたが、動物をが好きだったので、いつも見ていました。

そして、いつか動物の世話をする人になる職業につくために、日本へ留学したいと思っていました。

人になる is not wrong but 職業に就く sounds more natural in my opinion.

しかし、家族はお金が足りない買った計が少し厳しいので、、日本へ行くために、自分でお金を貯金しています。

家族にお金が足りない is understandable but sounds a bit weird. 家計が少し厳しい= it was a little bit difficule for my family to make the ends meet. Even though it's not a little bit, we tend to use 少し for softening the sentence.

私は実際に将来動物にかかわる仕事ができるかどうか、まだわかりませんが、頑張ってみようと思っています。

I omitted 私は since it's obvious that you are talking about yourself.

You have dreamed of becoming someone who takes care of the animals, and when you say 将来動物にかかわる仕事ができるかどうか、わかりませんが sounds like a little bit that you have a weak motibation. By adding 実際に, we can see that you are motivated but if you can realise it or not you are not sure.（but it's really a detail)

わかりませんが、=You will certainly be sure if you can or not afterwards, so I put まだ. （but it's really a detail as well)