Peut-être qu'elle deviendra une alphiniste dans le futu, à l'avenir. Peut-être qu'elle deviendra alpiniste, à l'avenir.

"peut-être" as a clause starter => peut-être QUE You don't need articles when simply indicating titles/professions => devenir alpiniste, écrivain, prince, soudeur... "le futur" is a very remote future, the one you can read about in most sci-fi books; what will happen in your lifetime is rather "l'avenir"

DurAu cours des/Pendant les derniers mois, sa mère a progressivement introduit une variété d’divers aliments dans son régime alimentsaire. Au cours des/Pendant les derniers mois, sa mère a progressivement introduit divers aliments dans son régime alimentaire.

"introduire" without adverbial phrase of space (in what?) would sound quite odd

Bien qu’elle profite daime cles aliments comme dles légumes, dles fruit, dule riz et dule blé, Lily est allergique aux noix. Bien qu’elle aime les aliments comme les légumes, les fruit, le riz et le blé, Lily est allergique aux noix.

If your point is she has no issues with these types of food, "bien que les aliments comme [...] ne lui posent pas de problème, Lily est allergique aux noix" would be the best solution

Lily est une petite bébé très mignonne. Lily est un petit bébé très mignon.

It's always "UN bébé", regardless of gender

Cette mois ci, elle a commence à rampermarcher à quatre pattes et ses parents sont vraiment fièreers d’elle. Ce mois ci, elle a commence à marcher à quatre pattes et ses parents sont vraiment fiers d’elle.

"mois" and "parents" are masculine => ce, fiers "ramper" in French really means moving on your belly (possibly with the help of other limbs, but mostly using your trunk), like snakes do We say that "crawling babies" "marchent à quatre pattes", since they really use their arms and legs, not their bellies

Maintenant qu’elle sait ramper, Lily veut grimper sur tourt, les chaises, la table et les coussins. Maintenant qu’elle sait ramper, Lily veut grimper sur tout, les chaises, la table et les coussins.

The "et" would suggest the enumeration is complete. You can use commas and an ellipsis if you're just quoting examples among others

Le jour queoù Lily a mangé un peu de cacahuètes, c’était traumatisant. Le jour où Lily a mangé un peu de cacahuètes, c’était traumatisant.

"cacahuètes" are countable, so it's pluralized

Elle a eu unfait une mauvaise réaction mauvaisallergique et les parents l’ont emmenée aux urgence. Elle a fait une mauvaise réaction allergique et les parents l’ont emmenée aux urgence.

More accurate and more natural

Le médecin leur a dit qu’unee les réactions allergiques aux cacahuètes esétaient communes, et on espère que l’allergie disparaîtra ou au moins diminuerasera moins forte/sérieuse/grave avec le temps. Le médecin leur a dit que les réactions allergiques aux cacahuètes étaient communes, et on espère que l’allergie disparaîtra ou au moins sera moins forte/sérieuse/grave avec le temps.

"reactions" in general are common => LES réactions