1: これは科学界での（or 科学界における）突破口です。

When you put a noun after a place or an environment like 科学界, の is necessary.
例
科学界で「の」成功 success in the scientific world
家で「の」過ごし方　how to spend time at home
学校で「の」ふるまい　behavior in school

世界に意味することがとってどんな意味を持つか把握していますか？

2: 彼女は大変すぎた日でしたので、業を煮やひどい一日を過ごして、（ついに）キレてしまった／感情が爆発した。

「業を煮やす」は lose it ほど突発的じゃない感じがします。
「キレる」はカジュアルで、「（感情が）爆発する」のほうが硬い言い方です。

1: これは科学界で突破口の大きな進展です。

世界に意味することが把握これが世界に与える影響がどのようなものかを理解していますか？

2: 彼女は大変すぎた日でしたので、業を煮やひどい日を過ごして、彼女は取り乱した。

みんなは彼女らしくない行動だと思って、ショックでを受けました。