Je suis directeur d'une bibliothèque publique dans une zone rurale de Caroline du Nord.

Je suis en train d'intentessayer de convaincre le gouvernement local (dont la bibliothèque est une département) dequi a la responsabilité de la bibliothèque) d'en construire une nouvelle bibliothèque.

"intenter" is a highly specialized and technical term in French, which means taking legal action (for instance when you wanna sue someone, "intenter un procès"), otherwise, it's "essayer" or "tenter"
"en construire une nouvelle" to avoid repeating "bibliothèque"

J'ai dit que c'est dans 'il s'agissait d'une zone rurale, mais plus précisément que la majorité du comté esétait rurale, mais qu'il y avait une sectioneur plus densément peuplée le long de la côte.

All the things you actually said depend on the verb "dire" and therefore, propositions need "que" to specify they depend on this verb
"était" and "avait" to follow the sequence of tenses

Il y a déjà une bibliothèque dans cette région, mais c'étaitelle a été construite il y a 23 ans et la population a explosé pendant ces annéedepuis, donc on en a besoin d'une plus grande.

Beaucoup de gens pensent maintenant, (et encore plus de gens le pensaient auvant/par le passé,) que les livres numériques allaievont remplacer les livres brochéspapier, mais aux États-Unis, les ventes des livres numériques sont demeurées au niveau deà vingt pour cent du marché de livres pendant plusieurs années, et l'usage des livres numériques dans notre bibliothèque c'est similaireà un niveau similaire/équivalent.

"livres brochés" are paperback books in English (I think, I'm not a specialist of that kind of vocabulary) but anyway, it's a way to bind books
If you mean physical books vs electronic/digital ones, "livres papier" would be better

Donc, on a toujours besoin d'espace pour les livres brochéspapier.