Une lettre pour faire une argument poargumenter en faveur ledu télétravail

"faire un argument" doesn't exist; "DONNER un argument" does, but it means giving just one
Developping arguments in general is "argumenter"

"en faveur de" ("in favor of") would also be more formal and more accurate in such a context

Bonjour monsieur le dCher Directeur de rs Ressources hHumaines, ¶
¶
¶
J'espère que vous allez bien.

In such a letter, you'd definitely need something more formal than "bonjour"
You can capitalize everything since "Directeur des Ressources Humaines" corresponds to the "DRH" acronym

SelonDans vortre dernier courriel, vous avez deéclaré que nous allions peut- ¶
être travailler chez nous pour deux jours par semaine.

Sequence of tenses => que nous allIons
"pour" is very rarely used to express simple durations; "pendant/durant" - or nothing at all, in many cases such as this one - are used instead

J'écris ce courriel pour vous donner mon ¶
opinion sur ce suject, et pour préciser/expliquer pourquoi commencer de/à travailler chez nous est une étape très important ¶
e pour améliorer l'efficacité de l'entreprise, et aussi lanotre motivation deà nous, les travailleuremployés.

"j'écris ce système pourquoi commencer" doesn't make sense; you need another verb following "pour" (expressing goal)

"étape" is feminine => unE étape importanTe

"à" is typically used with pronouns to indicate possession. The most usual way to do it is to introduce a possessive ("notre motivation") then "à nous" (to emphasize the "we vs others" aspect)

"travailleurs" is very contextual and also pretty connoted politically. It reminds me of this candidate of the Communist Party who used to begin all her speeches with "travailleurs, travailleuses"

En peremier lieu, l'efficacité de l'entreprise.

Si nous allons travailler chez nous, le temps qui est perdu ¶
nous perdrions moins de temps avec des choses qui n'aidee favorisent pas la productivité (par exemple, le ««chit-chat»» excessive) serait ¶
diminués bavardages excessifs).

Unlikely hypothesis = indicative imperfect in the "si" clause, conditional in the main one => si nous TRAVAILLIONS, nous PERDRIONS
"le temps serait diminué" or even "le temps diminuerait" isn't really said; I picked the simplest alternative
"favoriser" is a far better verb with an abstract noun such as "productivité" IMO
chit-chat = bavardage(s) (m.), papotage(s) (m.), jacasserie(s) (f.),

C'est déjà possible de le faire si nous'en perdre en travaillonsant chez noussoi, mais, c'est vraiment plus ¶
difficile de faire.

This sentence was very ambiguous. I suppose you meant it's already possible to waste time with chitchat at home, but it's more difficult? This is what I corrected
"en travaillant" (gerund structure) would be the best pick to indicate one action is done with the other
"chez soi" also gives it a more general character, like a universal truth

En plusoutre, la santé des emplois va beaucoup s'améliorer beaucoup.

"EN plus" is spoken/colloquial; in a texte, I'd recommend at least "DE plus", or even better => en outre, de surcroît
"S'améliorer" is reflexive when the subject is the thing/person improving

Nous allons dire au revoir àau temps ¶
perdu en voyagont au dans les trajets domicile-travail, nous allons dire bienvenueonjour à plus de temps qui serait utilisédisponible pour ¶
parler avec notre famille.

Goodbye to something definite => AU [à+le] dans

"voyager au travail" sounds funny, since "voyager" is said about very long, distant trips. In fact it's much closer to a "journey". One movement from an A to a B point is called "un trajet"

I reformulated the rest so it sounds more natural

Le résultant ?

Le bonheur, et quand nous sommeerons plus heureux, nous ¶
allons avoir plus de capacité de pourrons travailler plus dûur et avec plus de créativité.

A future action in a "quand" subordinate can and must be in the future tense => quand nous SERONS

In a pinch you could say "nous allons avoir plus de capacités À travailler plus dur" but it would be incredibly heavy and not natural at all
Even better (for the end) => nous pourrons travailler davantage/plus durement et de manière plus créative

Finalement, çcela veut ¶
dire/signifie que le travail va être fini plus vite dqu'avant, et que l'entreprise va avoir besoin de moins d'emploiyés.

"cela" is way more formal than "ça" (and appropriate in such a letter); similarly, you can use "signifier" to have something a bit more formal
quicker THAN before = plus vite QU'avant
The "l'entreprise va avoir besoin..." clause also depends on "vouloir dire que", so it has to be indicated by another "que" => et QUE l'entreprise...

Tout y gagne !

Lit. "everything wins at it", this would be the natural way to put it

Cependant, comme tous les choses en vie, c'est pas tout si bondans la vie, cela présente des inconvénients.

en vie = alive
in life = DANS LA vie

There would be tons of ways to phrase the idea in the ending, I've picked a formal one

Il y a de gens quiCertains disent que si nous ¶
travaillons chez nous, çil/cela va être plus difficile de savoir/connaître notre progrès, avec des tâches par exemplession, par exemple dans les tâches que nous avons à faire.

The advancement of something in a particular task would more accuarely be called "la progression"

C'Il est vrai, ça que ce serait un peu difficile de savoir qu'est-ce que nous faisons exactement.

Changed the ending for something more formal ("il" as a dummy pronoun, a subordinating conjunction + "ce", or "cela")

"qu'est-ce que" is only used in questions
"what" in an affirmative sentence (as object) => CE QUE

Mais, à mon ¶
avois, ce n'est pas parce que c'est plus difficile de poursuivre quoi est fait et/vérifier ce quoi n'est pas fait ou non ; c'est ¶
parce que ç'il y a besoin d'un système un peu différent.

"to follow, to keep track" is "suivre"
"POURsuivre" means "to resume" or "to hunt/chase down"

Same observation as before about "what" (here it's an object, "what is done", so => CE QUI)

"ça besoin" cannot exist, since "besoin" isn't a verb
"il y a besoin de...", lit. "there is a need of..." would work

Quand ce système estsera mis en place, le problème ¶
d'««être perdu»» de confusion va disparaître.

Same observation as above about future tenses in "quand" clauses
The thing you're referring to (being lost) is "la confusion"

Finalement, je suis complètement d'accord avec la décision de travailler chez nous deux jours par semaine, et ¶
je pense que même s'il y i ce sera un peu de difficultéile de commencer deà le faire, nous allons, très vitement, ¶
tous y trouver des résultats positifs pour nous tous, et nous allons tous en profiter.

The "agree" part was missing => je suis d'accord
"il y aura un peu de difficulté à commencer à le faire" sounded very heavy and not really natural, so I've changed it
In this sense it would be "commencer À"
y = in this new system

J'espère que j'ai réussi ¶
de à vous convaincaire d'appliquinstaurer le télétravail pourdans notre entreprise.

réussir À (faire) quelque chose

It would be "appliquer quelque chose À quelque chose", but in the given context, I think it's not the best option
In the sense of "taking a decision and enforcing it", "instaurer" is far better

Bien cordialement,En vous priant d'agréer, cher Monsieur, (l'assurance de) mes considérations distinguées.

Same thing here: unless you know your HRM because you work in a small company, because it's your friend or whatever, you'd definitely want something more formal and appropriate than a "bien cordialement" which would be alright with friends or colleagues