Un passeport

Pourquoi "Un" et pas "Le" ?

Le passeport est un document très important et, il faut absolument le garder dans un endroit sûr.

En Australie, le ministère des Affaires étrangèrers a la responsabilité de gérer les processus, y compris l liés au passeport, comprenant sa délivrance et leson renouvellement.

- "gérer le processus" : lequel ? celui de garder le passeport dans un endroit sûr ? Don't think so, but your text is ambiguous on the subject.
- "y compris" vs "comprenant" : "y compris" somehow supposes we already discussed of some of the aspects

Pour obtenir un passeport pour la première fois, il faut présenter de nombreux documents, y font partieparmi lesquels l’acte de naissance, le certificat de citoyenneté, unela pièce d’identité avec une photo et beaucoup plus encore.

IlCela prend beaucoup de temps àde ramassembler ces documents car , d'autant plus qu'il faut présenter les documents originaux.

ramasser : to pick like mushrooms
assembler : to gather

Les fonctionnaires au ministère vérificomparent ces originaux contreà des copies.

Remplir le formulaire en ligne, joindre les photos et envoyer le tout avec leu ministère accompagné du passeport actuel avant qu’il n'expire au ministère.

"avant qu'il n'expire au ministère" : before it dies there.
"l'envoyer au ministère avant qu'il n'expire" : to send it there before it dies.

Après ça,Ensuite il faut attendre quasiment six semaines.

En Australie, le ministère des Affaires étrangers a la responsabilité de gérer le processutoutes les démarches, y compris la délivrance et le renouvellement.

In the case of an administration, you'd rather talk about "démarches" (= the necessary steps to obtain something)

Pour obtenir un passeport pour la première fois, il faut présenter de nombreux documents, y dont (font partie) l’acte de naissance, le certificat de citoyennenationalité, une pièce d’identité avec (une) photo et beaucoupc/et j'en passe/et bien plus encore.

l'acte de naissance, le certificat de nationalité etc font partie DES documents => des documents DONT font partie
But if you mean "including", "dont" is enough

It's called "certificat de nationalité" (at least in France) but what you wrote would be understood

IlCela prend beaucoup de temps à ramassde rassembler ces documents car il faut présenter les documents originaux.

CELA prend du temps DE faire qqch

ramasser = to pick up (something on the floor or hanging on a tree)
rassembler = to put things together, to collect

Les fonctionnaires adu ministère vérifient ces originaux contre[en les comparant à des copies ?].

I'm not sure I grasped what you meant here: they compare it to copies to make sure they are original documents? This is what I've corrected

Remplir le formulaire en ligne, joindre les photos et envoyer le tout au ministère avec le passeport actuel avant qu’il n'expire au ministère.

"LE tout" is very idiomatic when talking about the total sum of elements one has previously mentioned
Better to have the adverbial phrase of place directly after the verb it completes, ie "envoyer" => envoyer le tout au ministère
"ne" is purely expletive here, it doesn't make the sentence negative