Un meurtre à Buenos Aires, première partie 1

Il est mieux d'utiliser les nombres ordinaux pour les parties

Rodriguez est entréea dans mon bureau, il était évident qu’elle avait beaucoup pleuré.

Vous avez commencé la narration elle-même dans un style formel (« dis-je », avec passé simple), il faut donc continuer comme ça (les personnages eux-mêmes en revanche peuvent très bien utiliser un français oral/familier)

--— Mon mari, dit-elle en sanglotant, mon mari, il est mort !

Tiret après le tiret cadratin indiquant un changement de personnage dans un dialogue

» ¶
Je ne savais pas ce qui'il convenait de lui dire.

Ici on répète le pronom explétif qui se trouve dans « IL convient de... »

« Comment votre mari est-il mort ?, demandais-je.

« demander » est un bien meilleur choix quand quelqu'un pose une question (et en l'occurrence, cela évite également de répéter « dire »)

--— Je ne sais pas du tout, dit-elle en s'essuyant sles yeux avec un mouchoir, ; hier matin, quand je me suis réveillée, je me suis rendu compte que mon mari n’était pas là, ce que j’ai trouvé assez bizarre, puisque je savais qu’il faisait d’habitude la grasse matinée d'habitude.

« s'essuyer les yeux », même logique syntaxique que « se laver les mains »
On mettrait minimum un point-virgule (;) entre des phrases avec des idées/propos si différent(e)s

Mais je me suis dit, peut-être qu’il avait eu passé une nuit blanche, mais c’est normal, ça arrive à chacuntout le monde de temps en temps.

On « passe » une nuit blanche comme on passe du temps en général
Le « mais » me semble hors de propos ici, puisque cette dame considère que passer une nuit blanche est précisément une chose normale
« chacun » au sens de « tout le monde » est très peu employé, surtout dans ce contexte, on dit toujours « ça arrive à tout le monde ». Le « chacun » français ressemble au « each » anglais, il insiste vraiment sur chaque membre du groupe pris individuellement

Sa mère était morte il y a deux semaines, et il avs'était beaucoup disputé avec son frère au sujet de l’héritage, alors peut-être qu'il ne pouvait pas dormir à cause du stress.

se disputer avec quelqu'un = to quarrel about something
disputer à quelqu'un quelque chose = to fight over something, to challenge someone's right to have something

Ici, vous devez indiquer la chose dont on parle (=> au sujet de, en ce qui concerne, à propose de, etc) ou au minimum la cause (=> à cause de) car « son frère de l'héritage » serait un complément du nom, du genre « his legacy brother »

De toute façon, je me suis descendue pour manger un petit quelque chose pour le petit-déjeuner, mais mon mari n’était ni dans la cuisine ni dans la salle à manger.

De manière générale, les verbes de mouvement sont intransitifs par essence, ils ne sont donc jamais pronominaux. Il n'y a guère que « s'en aller » et « s'en venir » (surtout présent au Canada) qui échappent à cette règle

dit-elle en sanglotant, il me'a paraissaitu/il m'a semblé qu’on lui avait tiré une balle dans la tête.

Les deux sont justes, mais « sembler » est nettement plus courant que « paraître » avec un COI ; dans tous les cas, c'est le passé composé qui convient ici (action principale de la narration, insistance sur les conséquences)

J’ai hurlé, puis j’ai appelé la police, mais franchement les policiers ne servent à rien, ils ont discutaienté toute la matinée (pour savoir) s’il agissait d’un meurtre ou d’un suicide.

Même chose ici, « ont discuté » pour la même raison que « j'ai hurlé », « j'ai appelé »

Je leur ai dit plusieurs fois que mon mari n’était pas dépressif, il était trèsbien évident que quelqu’un l’avait tué, mais ils ne m’écoutaient pas/ils ne m'ont pas écoutée.

« très évident » est extrêmement rare, voire inexistant
Les deux temps sont possibles pour le verbe de la fin, car l'action peut être prise en insistant sur le processus ("they weren't listening")

-— Merci, dis-je, vous êtes très gentille.

Style plus courtois et galant => vous êtes bien aimable

» On estNous sortiîmes donc du bureau ensemble, en route vers un mystère que je n’oublierai jamais.