Elle veut que j'améliore mon niveau de A2 à B1.

Although not formally wrong, "elle veut" is very strong. We'd rather go with "elle voudrait", "elle souhaiterait" or "elle aimerait". We would even soften a bit more with "Elle souhaiterait m'aider à passer du niveau A2 au niveau B1.". This formulation removes duty and stress from your frail shoulders :)
"she expects something from me" / "she'd like to help me to do something"... now any failure would be on her :)

J'espère que je pourrais faire ça.

"pourrais" : (conditionnel présent), utilisé pour exprimer un souhait, un désir, ou bien un évènement conditinonné par un autre : "si j'avais des ailes, je pourrais hijacker le Père Noël."
"pourrai" : (futur) "quand j'aurai des ailes je pourrai hijacker le Père Noël."

This final "s" is the difference between "I would" and "I will".

Plus naturel : "J'espère que je pourrai y arriver.", "J'espère pouvoir y arriver.", "J'espère y arriver."

Entre les cours, j’ai continué à pratiquer mon français.

The sentence is syntactically correct, and everybody will understand it. I think that many french people would even speak like that. Still, there are two tiny comments to be made :
- "entre les cours" would mainly be used to speak about the time between two occurrences of the same course.
- "pratiquer" is generally used for physical occupations, like a sport.

I therefore would suggest something like
"Dans l'entre deux j'ai continué à apprendre le français en autodidacte."
"Dans l'entre deux j'ai continué à apprendre le français toute seule."
"En attendant j'ai continué l'apprentissage du français toute seule."
"En attendant j'ai révisé mes leçons du premier cours de français."

J'écoute un podcast français tous les jours, et j'écris sur ce site et sur une autre application aussi.

Ou plus naturel encore : "J'écoute un podcast français tous les jours, et j'écris sur ce site ainsi que sur une autre application."

(Bravo pour votre assiduité, j'aimerais pouvoir en faire autant avec le japonais, mais je suis trop fainéant. :s)

Parfois, je trouve que je penspense même en français.

"je trouve que" is somewhere around "It is my opinion". I think you meant something more like "I realise", "I am surprised to realise".

"Parfois, je m'aperçois même que je pense en français."
"Parfois, je réalise que je pense même en français."
"Parfois, je me surprend même à penser en français."

J’ai hâte de reprendre les cours de français en janvier.

"prendre un cours" ~ take a lesson : this would be either when you apply and pay for it, or this would be attending one specific lesson (not the whole series of it).

"commencer ce cours" : start this one, the one we talked about earlier ("ce")
"commencer les cours" : start the series of this courses
"reprendre les cours" : start again the series of courses (in a context where you stopped something, and will start again where you left the thing, or at least wit ha logical continuation after where you stopped.).