Gostamos da mesma música e brintocamos muito juntos.

I say "tocar" because if you say "brincar" and you're not a kid, it implies something sexual, so I suppose you meant you jammed together, since you like the same music

Gostamos dao mesmao tipo de música e brincamos muito juntos.

Quando se fala gostamos da mesma música, está se referindo a uma música específica. É melhor dizer "tipo de música" para se referir a um gênero musical.

Ele é do Brasil e é muito divertido.

Você poderia escrever uma oração s. adjetiva explicativa aí, mas tiraria o destaque das característica do teu amigo. Assim, seria: que é do Brasil e que...
Ficaria sob teu critério, se este fato é digno de tal atenção ou não.
De qualquer forma, ambas estão corretas.

Gostamos da mesma música e brintocamos-la muito juntos.

O verbo "brincar" possui um significado quase inteiramente infantil (salvo exceções que, agora, não merecem tal destaque), e, por isto, achei isso esquisito. Por ver que tua língua nativa é inglês, deduzi que você quisera dizer "tocar a música"; no pt, o verbo "to play" quando se refere a um contexto musical, torna-se"tocar".
Mas não nego que a minha dedução pode estar errada; se assim for, avise-me.

Obs: no caso da minha correção, ela tem como base o pt de Portugal; se fosse no Brasil, ou quando se fala com brs, usar esta estrutura seria esquisito (apesar de ela ser gramatical kkkk). Assim, prefere-se que se use os pronomes retos como objeto -- no caso de terceira pessoa -- do que os oblíquos; do jeito br seria deste modo: tocamos ela, (mais natural aqui, mas agramatical; apesar de natural, em situações formais ou acadêmicas, não se *deve* usá-la, mas há quem a use kk).
Contudo, aqui, usa-se bem os oblíquos de primeira e segunda pessoa (exceto 2° do plural). Ex: eu te falei, eles nos disseram, eu me machuquei, etc.; quase sempre em próclise.