Chaque année, pendant l’ août, un grand festival de l'art arrive à EÉdimbourg, qu'on appelle en anglais « le Fringe ».

Il y a des spectacles den tout genre, comme ledu théâtre, de la danse et surtout, de la comédie.

You'd need the indefinite article here, lit. "some drama, some dance" etc

De nombreux humoristes célèbres ont commencé leurs carrières avec un spectacle au Fringe.

One would rather consider everyone of them has one career, so the singular would seem much more natural to me

On dit que le festival est l’endroit idéal pour découvrir les nouvelles vedettes de la scène comique, avant qu’ilselles ne jouent dans les/de grandes salles complètement bondées.

les vedettes (feminine plural) => elles

Dans lLes années précédentes, j’ai vu [des actes qui ontsketches ?] joués dans [des cellars, lesquelles oaves ?], qui avaient l’air vraiment hantées.

I wasn't sure about what you meant by "acts": the acts of a theater play? Sketches? Whole comedy shows? Likewise, "a cellar" is normally "une cave", but I don't know if it applies there
"lesquelles" as a relative pronoun is used to specify the last quoted noun is being repeated, not the other ones. Ex: "il m'a montré ses sculptures, ses gravures et ses peintures, LESQUELLES étaient vraiment intéressantes" = the paintings were interesting, but not the sculptures nor the prints
So, it's pointless here

Cette année, mes amies m’ont aemmenée à deux spectacles d’humoristes, dont l’un était américaine et l’autre était britannique.

either "l'une était américaine" (female comedian) or "l'un était américain" (male comedian)

Je dirais que les bBritanniques aiment l’humour pince-sans-rire et sarcastique.

The ethnicity adjective is used as a noun here, so it needs to be capitalized

Les humoristes britanniques emploient un ton mi-sérieux, [mi-baladinamusé ?], sans trop d’émotion visiblemontrer d'émotions.

"baladin" is only a noun (at least to my knowledge), it was a public comedian, like a joker, a jester
I supposed you meant "half-serious, half-amused", so you can say it like this

D’un autre côté, il paraîtsemble que les aAméricaines préfèrent un style plus exagéré.

"il paraît" is "it seems" but in the sense "people say that/rumor has it that...)
If it's about something you perceived yourself, "sembler" is better

Leurs identités et leurs histoires personnelles figurent/se reflètent souvent dans leurs routines.[ce qu'ils ont l'habitude de jouer ?]

It's a bit vague what you meant by "routine" here. I guess you meant what they usually play, so it'd be better to phrase it this way, because "routine" would really be too general and a bit off in such a context

Les humoristes américains font des blagues avecpleines due charisme.

Ils ont tendance à parler très vite, sans les pauses, selon mon expérience.

Cette discussion m’a fait penser sur leau rapport entre la culture et l’humour.

either "penser à" (it brought this though to your mind) or "réfléchir à/sur" (it triggered a long meditation about smthing)
but "penser sur" doesn't exist
"entre culture et humour" would also work

Dans mon pays, on utilise l’humour pour se rapprocher avecde quelqu’un.

se rapprocher DE qqch/qqn

FOn considère que faire rire quelqu’un est considéré commerevient à lui faire un compliment.

revenir à (here) = to equate, to come down to

Cela signifie que l’autre personne est intelligente, et qu’ilelle ne prend pas la vie trop au sérieusementx.

"prendre au sérieux" is more common than "prendre sérieusement"
la personne (feminine) => elle

Cependant, j’imagine que cette manie de faire des blagues tout le temps pourrait sembler bizarre, ou peut-être impolie, pourà une personne qui ne l’a jamais renc'y aurait jamais été confrontrée avant.

"rencontrer" means "to meet" in a concrete way; in case of a situation, an event "faire face à" or "être confronté à" is better, unless you want to give the sentence a stylistical effect, ex "j'ai rencontré la Mort"
If you want to emphasize it was a fight, a clash, you can also use "affronter" (which works with people, situations, issues, fears etc)