2. (손이 닳도록 빌다) 무섭고 부끄러우는데 손이 닳도록웠지만 다시 만나자고 손이 닳도록 빌고 말았어요.

고 말다 I think is a bit shady? 부끄러우는데 -> 부끄러운데, remember -는/-ㄴ for verbs vs. adjectives. Most important adjectivials should be the closest to the verb/adjective.

3. (손을 놓다) 다이어트 하는 것에서 손을 넣놓았어요.

4. (손에 안 잡히다) 집에서은 시끄러워서 공부가 손에 안 잡히고길래 영화관에 왔어요.

안 잡혀서 would work too, but I didn't want to repeat -어서. -고 is wrong here. While 집에서 isn't wrong here because 안 잡히다 is a verb phrase, I think just a topic marker and then implied 에서 later (집은 시끄러워서 [집에서는] 공부가 손에 ~) is more natural in terms of flow. Also, very important: don't omit particles unless you're absolutely sure it's warranted. It's a bad habit that makes for really awkward sentences.

5. (손에 땀을 쥐다) 이번 회가 재밌고 무서워서 손에 땁땀을 쥐고 있어요.

6. (손이 크다) 우리저희 친구가는 손이 커서 매주 음식을 차려 줘요.

우리 <-> -어요 is a politeness mismatch. Just 주다 feels odd, I'd use another verb there like 차려 주다, 사 주다, 해 주다, etc.

7. (손을 씻다) 우리저희 엄마가는 저를 임신했을 때 담배를 피우에서 손을 씻었어요.

Again, 우리 <-> 어요 politeness mismatch + don't omit particles unless you're absolutely sure you know what you're doing (in which case you'd go ahead anyway, whatever I say ;P)
에서 is a particle, not an ending. It goes on nouns/noun phrases (which 피우 is not).

8. (손에 익다) 이제 한글이 손에 익지어서 한글로을 쓰는 것이 하나도 안 힘들어힘들지 않아요.

쓰는 것이 (written/slightly formal register) -> 힘들지 않다 (slightly formal register)
What was -지 supposed to convey here?