Oí que hayce sol durante los fines de semana.

Con el tiempo se suele usar el verbo haber: "hace sol", "hace calor"... (pero no "hace lluvia" sino "llueve")

Si te gustaríaquieres, podríamos comer KFC, tu comida favorita.

El domingo, iréme levantarmeé temprano para ver la salida del sol.

Como mejor alternativa a "la salida del sol" puedes usar "amanecer"

Tus padres son muy estrictos, pero te prometo que volverás a casa a las ocho.

"prometer que". Tenemos dos verbos y necesitamos la conjunción que para introducir la subordinada donde va el segundo verbo

Pues, “hace llueve” es correcto?

Quería decir “if you would like, we could eat…”

Así que, correcto es: “el domingo, me levantaré temprano para ver el amanecer”

First verb + que + second verb. Is that always a tule no matter what?

Si, pero la traducción directa no funciona. Usa mejor: Si quieres, podríamos comer o más formal, "Si quisieras, podriamos comer"

Unfortunately not. This kind of rules doesn't usually exist. Prometo venir a verte... (fijate que el verbo venir va en infinitivo). No necesitas "que". Prometo que vendré a verte. Ahi el verbo venir va conjugado. Ahi si que hace falta "que"