Meine Mutter wollte, dass wir ihre eine neue Handtasche kaufen.

"Handtasche" is countable, so you need in indefinite context an article. This is the same as in English.

Wir haben auch bei unserem Lieblingsimbiss in der Nähe (???) gegessen.

Correct, but unclear. We don't know whether this is near the shopping center, or near the place you are right now.

Probably you refer to a place close to the shopping center. In this case, you would write "dort in der Nähe".

Ich vermisse das sehr. (???)

Correct, but does not fit. "das " would have to refer to something you used to do in the past regularily, but now does not happen anymore. However the text before refers to a solitary event (when your mother wanted to have a new handbag).

Ich kann heute nicht lange schreiben, weil ich müde bin.

"lange" (= taking a long time) is not wrong, but more natural would be "viel" (= a large amount of text).

Ich werde morgen eine länger eine Story erzählen.

Here too: The adverb "länger" is a bit strange, but the adjective "längere" does make sense.

Meine Mutter wollte, dass wir ihr sich eine neue Handtasche kaufen.

This isn't incorrect, but I think I'd rather put it like this: Meine Mutter wollte sich eine neue Handtasche kaufen.

* "Ihre neue Handtasche" generally means that she already has it.

* (sich) etwas kaufen:
Ich kaufe (mir) einen Stift.
Du kaufst (dir) einen Computer.
Er kauft (sich) ein Fahrrad.
Sie kauft (sich) ein Auto.
Wir kaufen (uns) etwas zu essen.
Ihr kauft (euch) etwas zu trinken.
Sie kaufen (sich) Bücher.

The forms in brackets are often used to emphasize that someone is buying something for personal use, more or less.

Ich werde morgen länger eine Story erzählen.

Oder: Ich werde morgen eine längere Story/Geschichte erzählen.