מטפחת ניירטישו טישו

You can Just say טישו, which is literally "tissue" (paper).

היום הפעוט שלי לקח מטפחת ניירטישו מכיס הסוודר שלי. היום הפעוט שלי לקח טישו מכיס הסוודר שלי.

You need to write הפעוט. In general saying "my X" will be translated as "the my X" - הבננה שלי, החלוק שלי, and so on.

אני הראיתי אותלו בבוקר שהיות לי מטפחות נייר בכיס. אני הראיתי לו בבוקר שהיו לי מטפחות נייר בכיס.

אני הראיתי לו - you need to use the ל preposition with להראות. שהיו לי - That I had, without the ת. The word היות ש mean "because" in high vocabulary.

אחר הצהריים הזה, נחתי על הספה ובני בא לאֵלַיי וחיטטפש במותן שלי. אחר הצהריים הזה, נחתי על הספה ובני בא אֵלַיי וחיפש במותן שלי.

With the word לבוא we use the אל preposition when it is to people. The word "to rummage" does mean לחטט, but here it is more natural do say לחפש - to look for/search.

ראיתי אותו הולך משום מקנח את אפו וצחקתי וצחקתי. ראיתי אותו הולך משם מקנח את אפו וצחקתי וצחקתי.

משם - from there, משום - because of (There are many variant for causation in Hebrew) וצחקתי וצחקתי - Usually we don't use the same verb twice, instead we will say צחקתי ממש (I really laughed).