Cuando las personas viajan al extranjero es normal que se emocionaen por las nuevas experiencias culinarias que podrán encontrar.

Sin embargo, cuando la estancia dura por más que unas semanas o si se convierte en un período de vivir en el extranjero, también es común que la gente empiece a extrañar la comida de su país de origen.

It sounds really odd if you just use "origen." It is better to use "país de origen" or "lugar de origen."

Así es mi caso que, viviendo en el extranjero, he buscado bastante por comida que se parezca a la de que me he acostumbrado a comer en California.

Asimismo, cuando visito un nuevo sitio una de las cosas que me aseguro de hacer es recorrer algunas de las calles en posbusca de un restaurante que sirve comida mexicana.

"Pos" is correct but it sounds way too formal. I don't think it is frequently used nowadays.

Cuando las personas viajan al extranjero, es normal que se emocionaen por las nuevas experiencias culinarias que podrán encontrar.

Sin embargo, cuando la estancia dura por más que unas semanas o si se convierte en un período de vivir en el extranjero, también es común que la gente empiece a extrañar la comida de su país de origen.

El verbo «durar» no pide ninguna preposición: «El evento duró varios días.».

Así es mi caso que, viviendo en el extranjero, he buscado bastante por comida que parezca la de que me he acostumbrado a comer en California.

«[...] he buscado bastante comida que se parezca a la que me he acostumbrado a comer en California.» es una variante que a mí me resulta más natural, aunque la tuya también sea correcta (hasta donde yo sé).

Asimismo, cuando visito un nuevo sitio, una de las cosas que me aseguro de hacer es recorrer algunas de las calles en pos de un restaurante que sirvea comida mexicana.