Il y a quelques semaines que ma fille nous a annoncé qu’elle es'était fiancée : son petit copain vient de Nouvelle-Zélande.

Sequence of tenses => s'était
"qu'elle était fiancée" would emphasize the state ; "qu'elle s'était fiancée" would emphasize the action she did. I'd prefer the latter, but the former isn't wrong

En ce moment, ils vivent et travaillent en Angleterre, et la semaine dernière, ils sont venus en Australie.

Hier, pour la première fois, nous avons rencontré les parents de mon futur beau-fils.

Ses parents habite dansnt sur l’île de Waiheke, qui se trouve au nord d’Auckland, en Nouvelle-Zélande.

An island is considered a surface, so it works with "sur". "Dans" is sometimes used, but emphasize "in the heartland" (as opposed to the coasts, beaches etc)
You can also have a direct object after "habiter" => habiter l'île

En regardant les photos, il meelle/cela m'a semble d’é être une petite île, très pittoresque, avec beaucoup de vignobles et un paysage époustouflant.

You can use "cela" or "elle" (to repeat "île", which is feminine) but you're not using the dummy pronoun "il" here

sembler être qqch
If you want to specifically refer to the feeling you had when looking at the pictures, you should use a past tense ("m'a semblé"). It would be the most natural solution.

Je n’ai pas eu l’occasion d’ye la visiter, mais on dit qu’elle est moinspeu peuplée et qu'il n’y a pas de circulation, pas même un feu.

Visiter quelque chose
Direct object pronoun => la
"y" replace location complements

"moins" would imply a comparison element which isn't clear at all here: less populated by what?
If you just meant "scarcely populated", it'd be "peu peuplé"

The "il n'y a pas..." clause depends on "dire que" => QU'il n'y a pas

AlorsBien que cela ressemble à un paradis insulaire (island paradise), j’imagine qu’on pourrait se sentir un peu isolé puisque qu’il n’y a pas d’hôpital ou des grands magasins.

Apparemment, si on voulait y aller, il faudrait qu’on prenne le ferry.

Unlikely hypothesis : imparfait in the "si"-clause, conditionnel in the main one

Alors, la première rencontre entre les beaux-parents étaita eu lieu dans un restaurant à Sydney.

Nous avons choisi un restaurant italien où nous avions déjà mangé plusieurs fois et; leurs plats sont toujours délicieux et le service attentif/aux petits soins.

The plus-que-parfait makes it clear that "already eating" is about past experiences. The context is clear here of course, but "un restaurant où nous avons mangé plusieurs fois" set "choisir" and "manger" on the same temporal line, so one could conclude you ate several times the day you met your family in law!

; to avoid repeating "et" too often
"aux petits soins (avec les clients)" would be more accurate and certainly more natural to express this

Le père était un peu réservé jusqu’à ce nous avons commencéions à parler de la Coupe du monde.

Tout compte fait, nous avons passé une soirée agréable.

"tout compte fait" feels like there was something showing the evening wouldn't be nice in the first place, or you doubted this evening would be nice. I tried to think about a few alternatives, but things like "finalement" or "en fin de compte" would all carry this connotation, more or less. "Nous avons donc passé une agréable soirée" would perhaps be the most neutral way to phrase it.