nNeljästoista päivää syyskuutäa 2024 Neljästoista päivä syyskuuta 2024

Numbers over 10 are typically written with numbers instead of spelling it out completely. I didn't correct the order, but I feel like "syyskuun 14. päivä" is a bit more common than the other way around.

Mä alan kirjoittaa päiväkirjaa suomeksi opiskelemaan suomeasuomea opiskellakseni. Mä alan kirjoittaa päiväkirjaa suomeksi suomea opiskellakseni.

It feels like there is a word missing here -- I presume you want to convey the reason for starting the diary?

Tänään mä jäin kotiin koko päivän ja mäksi, tein muutaman tehtävän ja olin vähän töissä etänä. Tänään mä jäin kotiin koko päiväksi, tein muutaman tehtävän ja olin vähän töissä etänä.

"Tehtävä" is very generic, I'd possibly add some prefix like 'koulutehtävän' to make the context more clear.

Ja mä otin suomen kielen kursstunnin etänä. Ja mä otin suomen kielen tunnin etänä.

"Kurssi" refers to a whole series of classes, so unless you finished the whole course today it feels a bit off here. If the meaning was that you just started a course, you could say this: "Ja mä aloitin suomen kielen kurssin etänä."

SeuraavallaEns kerralla mä valmistaudun lisääparemmin ennen tuntia. Ens kerralla mä valmistaudun paremmin ennen tuntia.

Nothing wrong with "seuraavalla", but I think "ens" (shorter form of "ensi") matches the spoken style that you're using otherwise. Also nothing wrong with writing "lisää" here, but I think "paremmin" sounds just a bit more natural.