Yo inicié un trabajo nuevo recientementeConseguí un nuevo trabajo hace poco. Conseguí un nuevo trabajo hace poco.

Most people would probably say "conseguí" or "encontré" when talking about a new job. "Recientemente" sounds rather formal for the context, and remember the verb already carries the first person pronoun (conseguí/inicié = I found / I started) so it's not required to specify "yo."

Estoy unaSoy niñera por lde unos niños cerca de mi barrio. Soy niñera de unos niños cerca de mi barrio.

This would read better if it was joined with the previous sentence, like "Hace poco conseguí un nuevo trabajo de niñera cuidando a unos niños cerca de mi barrio."

La familia me paga muy bien, y los niños son muchosy divertidos y animados. La familia me paga muy bien y los niños son muy divertidos y animados.

Comma usage.

Estoy muy feliz por mide haber conseguido este trabajo porque estoy asistiendo la universidad por el segundo añoal segundo año de universidad y necesito dinero. Estoy muy feliz de haber conseguido este trabajo porque estoy asistiendo al segundo año de universidad y necesito dinero.

You can also say "voy por el segundo año de la universidad" or "estoy en (cursando el) segundo año de universidad."

Es mi primero trabajo que es pagado y se funciona muyremunerado y se ajusta buieno con a mis horarios. Es mi primer trabajo remunerado y se ajusta bien a mis horarios.

MI TRABAJOi trabajo Mi trabajo