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„Bout“ ist etwa umgangssprachlicher und bezeichnet manchmal Sachen, die ein wenig kleiner als „morceaux“ sind, aber im Grunde genommen sind beide Synonyme, wenn sie „Stück“ bedeuten.

„Une pièce“ ist eine besondere Art „Stück“, d.h. ein Element, das in einem komplexeren System oder in einer Gesamtheit integriert werden kann => une pièce de puzzle, une pièce de moteur, une pièce d'horlogerie, une pièce de collection... In vielen Fällen entspricht übrigens unsere „pièce“ dem deutschen „Teil“.

Also darf man nicht *„une pièce de gâteau“ sagen! Dieser falsche Freund kommt manchen Lernenden ein, wenn sie „a piece of pie“ meinen :)

Ich hoffe, dass ich deine Frage beantwortet habe!