Why are there two particles を in "８０円の切手を５枚、はがきを２枚ください"? Can I replace the first "を" with "と"? Why are there two particles を in "８０円の切手を５枚、はがきを２枚ください"? Can I replace the first "を" with "と"?

これは話ことばだと思うので、”切手を５枚”の後にポーズを入れるのが自然だと思います。

８０円の切手と５枚はがきを２枚ください ８０円の切手と５枚はがきを２枚ください

これは不自然ですね。これだと、”８０円の切手（を1枚）”と　”5枚はがき”　を2枚ください、というように”5枚はがき”という名まえのはがきがあるように読めてしまいますね。

８０円の切手とを５枚（と）はがきを２枚ください。 ８０円の切手を５枚（と）はがきを２枚ください。

The original is incorrect. You can say A: ８０円の切手（を）５枚とはがき（を）２枚ください。or B: ８０円の切手（を）５枚、はがき（を）２枚ください。 The を is the object marker. You can add it or omit it in this case. The と after 5枚 means "and". If you omit it, you should add a comma instead.