"« Je veuxais être totalementrès claire : Lles rats vont absolument haidétester cette annonce," », a dit cette semaine Jessica Tisch, la commissionnaire sanitaire new-yorkaise.

I modified a bit the translation to make it more natural
"haïr" isn't wrong but it's less used and IMO a bit more literary than "détester", which is really commonplace

"« Mais les rats ne gèrent pas cette ville .

SonC'est nous ceux qui le font .(qui la gérons) ! »

I guess you meant "we do (we run it)", so it'd be the best translation

La ville, qui fait en ce moment fait face à un nombre massivextrêmement élevé de plaintes concernant les rats, vise à la modification de temps ouer les horaires auxquels les reésidents peuvent mettre leurs déchets dans le pavements rues/sur le trottoir de 4h à 8h, ainsi que l'implémentation de /la mise en place d'amendes pour ceux qui les mettent très tôt.

"massivement" can't be used in this contexte
"temps" is far less common than its English equivalent. "Temps" has a broader, more abstract meaning in French, and natives will often use a more specific word where English speakers would say "time". In this case, it'd be "horaires"
the pavement = le trottoir, la rue

Tisch a décrit les changements proposés, qui entreront en vigueur dès le 1er avril de l'an(née) prochain(e), comme "« quelque chose quie personne n'avait pas eu la volonté ou [la capitale politique pour?] de mettre en place au longcours des 50 dernières années." »

subject relative pronoun = qui. Des changements (subject) entreront en vigueur => des changements QUI entreront en vigueur
Dates require cardinal number, except for "the first", which is cardinal = le PREMIER avril
I didn't understand the part between brackets, "la capitale politique" doesn't mean anything. "Une capitale" is a city.

Il faut rappeler que les nNew-yYorkaises étaient autorisés jusqu'à preésent autorisés à jeter leurs déchets à 4h du tardmatin depuis autour de 1971, quand la ville avait fait non-obligatoirerendu l'utilisation des poubelles métalliques facultative.

Ethnicity and city adjectives are capitalized when used as nouns. "Les New-YorkaiSES" would mean only female New Yorkers

Since the measures will only be enforced next year, I would use "sont toujours autorisés" instead of "étaient jusqu'à présent autorisés", because they're still allowed to do so as you're writing these lines (so far I understand), but it's only a matter of perspective here

I guess you meant "4am". It'd be "quatre heures du matin"
make + adjective => rendre + adj.
1971 is a specific year when a specific decision was made, so it's incompatible with phrasings expressing a rough period of time. You can however say "depuis le début des années 70"

non-obligatoire = facultatif