C'est nécessaire qu'il y aille parfois parce qu'il a une thyroïde hyperactive, une maladie (qui est) commune parmi dles chats âgés. C'est nécessaire qu'il y aille parfois parce qu'il a une thyroïde hyperactive, une maladie (qui est) commune parmi les chats âgés.

Would be more natural to drop the "qui est" Old cats in general => les Somewhat more colloquial alternative for the end => chez les chats âgés

Heureusement, c'est bien géré par son médicamentson médicament l'aide beaucoup. Heureusement, son médicament l'aide beaucoup.

More natural phrasing "ses médicaments" would also be right ("son médicament" emphazises your cat takes only one type)

S'il n'avait pas son traitement, son métabolisme serait extrêmement élevérapide. S'il n'avait pas son traitement, son métabolisme serait extrêmement rapide.

I'm no medical expert, but if you mean your cat consumes energy very quickly, it means his metabolism is "rapide". "Métabolismes" (at least in French) are "lents" or "rapides"; I've never heard "élevé" (but again I'm not a doctor)

Il pourrait manger toute la journée et encore maigrir quand même/malgré tout, c'est grave. Il pourrait manger toute la journée et maigrir quand même/malgré tout, c'est grave.

"still" in this sense introduces opposite ideas (despite A, B happens), so it's be "malgré tout" or "quand même" in French

Nous y irons, le vétérinaire fera un teste prise de sang/une analyse de sang pour vérifier les niveaux de certaines hormones et protéines, et il renouvellera l'ordonnance. Nous y irons, le vétérinaire fera une prise de sang/une analyse de sang pour vérifier les niveaux de certaines hormones et protéines, et il renouvellera l'ordonnance.

I think "test de sang" does exist, but the most common terms are by far these ones

Les tests ne font pas mal (oudu moins, je pense que non), mais il est vraiment angoissé et ça me fait de la peine. Les tests ne font pas mal (du moins, je pense), mais il est vraiment angoissé et ça me fait de la peine.