Myon chat

Donc aujourd'hui, mon chat était malade je ne savais pas la raison que il est maladepourquoi.

Far lighter and more natural way to phrase it (which also avoids repeating "malade")

J'aivais peur/j'étais effrayée que 'il est mourirmeure, donc je suis allé àchez le vétérinaire pour un vérificationqu'il l'examine.

to someone's place = chez + name ("au" would be heard in oral/colloquial French though, but it's not very standard)
avoir peur de/être effrayé que + subjonctif

Le docteur esta dit que mon chat va bien mais il esallait bien, qu'il avait simplement un peu froid mais il seraqu'il irait bien d'ici demain.

to be fine (for living beings) = ALLER bien
Objects/things "ont froid", but living beings "ONT froid" when they feel cold. "Être froid" may apply to people though, but it means being cold in a figurative sense, lacking human warmth.
All the clauses depend on "dire que", so they need to be preceded by "que" to indicate it

J'étais trop contente quand j'ai écouté le message.

This works if the doc left you a message on your answering machine (for instance), but if he told you this face to face, "quand j'ai appris la nouvelle" would be way better