ÇaIl semble que mon chien esoit malade.

il semble que + subjonctif
"ça semble" is sometimes used, but with adjectives. For the dummy pronoun, it's always "il" in this case

Ce n'est pas trop sérieuxgrave, mais depuis environ trois jours, il a des problems avec lèmes [de toilette (?] [c'est pour le meilleur que je ne dis pas plus) à ?] la nuit, et ceça me reéveille.

For illnesses, we rather say "grave"
I didn't really understand the part between brackets. "La toilette" (when said about an animal) means "grooming, washing"

Mais, autre que à part ça, il n'y a pas des problèmems.

except for something = à part qqch

Il peut se promener avec moi, il boit de l'eau, manger la nourriture deux fois apar jour etc.

This one is always reflexive => SE promener
The indefinite plural uses de + article, and is pretty much always used after verbs like "manger" or "boire" (it's the same idea that "some" in English, consuming an indefinite quantity of something)
"manger de la nourriture" is somewhat tautological, so it's better to just say "manger"
X times A day, week, month etc = X fois PAR jour, semaine, mois etc

J'espère qu'il seira bonmieux dans quelques jours.

"j'espère qu'il sera bon" is very likely to be understood as "I hope he'll be tasty in a few days" :-D
to be fine, well (when talking about health) = aller bien

Il n'est palus très jeune plus, mais pas très vielleux non plus.

not to be smthng anymore = ne plus être qqch
non plus = neither, here
vieux (masc. singular & plural), vieille (f. sg.), vieilles (f. pl.)

Bien sûr, je suis inquiet, mais le fait que saon comportement esoit normal me donner confortréconforte/me tranquillise/me rassure.

le fait que + subjonctif
All words with the -ment suffix (used to build nouns from verbs) are masculine = le tempérament, l'éternuement, le comportement, le détriment etc
to give comfort = réconforter