Zdawałem sobie sprawę, że często zapomninałem łatwo o wszystkim, co przeżyłem/ co mi się zdarzyło.

"Zdałem" - raz; "zdawałem" - regularnie, wiele razy, przez dłuższy czas lub stale.
Podobna różnica jest między "zapomniałem" a "zapominałem".

Nie bardzo rozumiem, czy to właśnie wtedy, jako czterolatek już zdawałeś sobie sprawę z tego zapominania?

Na przykład, wieczorami już zapomninałem o tym, co zrobiłem przez dzieńw ciągu dnia i to wszystko niepokoiło mnie, bo myślałem, że miałem/mam jakąiś psychiczną sprawęroblem psychiczny.

"przez dzień" brzmi dość niezgrabnie

Odkąd sięgam pamięcią, zawsze miałem wrażenie, że jestem różny od wszystkich innych i ta słaba pamięć była injeszcze jedną cechą mojej różodmienności.

alternatywnie:
"...że różnię się od wszystkich innych..."
"...i ta słaba pamięć była jedną z cech mojej odmienności"

"Różność" jako rzeczownik odprzymiotnikowy nie brzmi najlepiej.

Tymego wieczoremu szedłem do łóżka i mama życzyła mi dobrąej nocy.

Postarałem zasypiaróbowałem zasnąć/ Starałem się zasnąć, ale nie mogłem, więc zacząłem myśleć o tym, co zrobiłem tego dnia i czy o niczym nie zapomniałem.

Nie wiem, czy dobrze interpretuję końcówkę. Może chciałeś powiedzieć: "...i niczego nie mogłem sobie przypomnieć"? Tak mi się wydaje, sądząc po kolejnym zdaniu.

"Stało się znów" Znowu to samo", pomyślałem zmartwiony.

Więc (Po)patrzyłem więc prosto na ciemność mojego pokoju i (po)myślałem: "cChcę pamiętać o tym momencie jutro rano".

Tu pasuje zarówno forma dokonana ("popatrzyłem", "pomyślałem"), jak i niedokonana ("patrzyłem", "myślałem"). Myślę, że rozumiesz różnicę.
W języku polskim nie powinno się zaczynać zdania od "więc". W szkole wbijali nam to uparcie do głowy :)

Potem potrafizdołałem zasnąć/ udało mi się zasnąć, ale to ciekawe jak, że moim pierwszym wspomnieniem jest ciemność.

"Udało mi się zasnąć" brzmi bardziej naturalnie.

Tylko cChciałem tylko pamiętać o tym następnymego dniema, ale ten moment został wyryty w mojej pamięci na zawsze.

Zamiast "ten moment" możesz powiedzieć "ta chwila (...została wyryta...)". W języku polskim wyrazu "chwila" używamy częściej niż "moment" i brzmi to naturalniej.