Este es la primera semana de que mi gata ha estado viviendo conmigo.

Solía vivir con mis padres mientras estoy lejosaba en el colegio.

"estoy lejos" está en presente,y estás hablando de algo que está en pasado,algo que ya pasó entonces es "estaba"

Aunque ella vivíaió 10 años en la casa de mis padres, se está adaptando buien al nuevo lugar.

"vivía" está bien,pero suena medio raro

No ha conocido a mis compañeros de casa aún, pero creo que está feliz hasta ahora.

Mi gata viene a vivir conmigo

Esta bien solo que tal vez es más natural decir "se viene a"

Este es la primera semana que mi gata ha estado viviendo conmigo.

Solía vivir con mis padres mientras estoyaba lejos en el colegio.

Aunque vivíao 10 años en la casa de mis padres, se está adaptando buen al nuevo lugar.

Se que es una gata, el verbo no lleva acorde en este caso. O eso entiendo

Estea es la primera semana en la que mi gata ha estado viviendo conmigo.

SMi gata solía vivir con mis padres mientras estoyyo estaba lejos en el colegio.

I put "mi gata" at the beginning of the sentence to make it clearer. "Estaba" is the past form of "estoy"

Aunque vivíao 10 años en la casa de mis padres, se está adaptando buien al nuevo lugar.

NAún no ha conocido a mis compañeros de casa aún, pero creo que está feliz hasta ahora.

If you write "Aún" at the beginning, the sentence sounds more natural