J’ai retournée suis rentrée en Irlande, après trois semaines au Portugal.

to come back home = rentrer chez soi
All movement verbs require "être", except those specifying how the movement is done, so you'll say "j'AI nagé" but "je SUIS rentrée", "je SUIS allée" etc

Ma famille et moi sommes allés en Algarve, dans le sud du pays.

"DANS L'Algarve" is a bit more common

C'était agréable d'avoir trois semaines de vacances, après une longue période d'études, d'examens et de beaucoup de stress.

You'd rather say "après beaucoup de stress" rather than "après une longue période de beaucoup de stress", which would be quite clumsy, grammatically speaking

Chaque année, beaucoup de gens 'Irlandais vont en Algarve.

"people, man, woman" etc after ethnicity or nationality adjectives is idiomatic in English, but not in French. We directly take the adjective with the right agreement

C’est comme "« un chez-soi loin de chez soi" ».

J'ai vraiment apprécié les vacances, cependant, je sais que je devrai aller dans une autre partie du pays pour découvrir la culture portugaise dans son intégralité/la véritable culture portugaise !

"la véritable culture portugaise" would be slightly derogative, as if there were some kind of artificial or typical "microculture" in Algarve that wouldn't reflect the rest of the country (a bit like Paris in the case of France)
I felt like you rather meant you'd need to try other regions to discover Portuguese culture in an exhaustive manner, so it would be the first alternative

J’aie suis retourné en Irlande, après trois semaines au Portugal.

C'était agréable d'avoir trois semaines de vacances, après une longue période d'études, d'examens et de beaucoup de stress.

Chaque année, beaucoup de gens 'Irlandais vont en Algarve.