mMes vacances

Cap in the first word of a title

Pour les vacances, je suis allée auà Londres.

All cities require the preposition "à" => À Londres, À Paris, À Tokyo, À Kuala Lumpur...
"au" is [à+le], so it can only happen if there's a definite article if the name of the settlement itself

J'ai pris un avion, c'étaist le façon plus vite et pas plumoyen de transport le plus rapide et le moins cher, mais putainfranchement je déteste voler sur uen avion. !

-s never ever is an ending of the third person singular in the indicative tense => j'étais, tu étais, il/elle/on étaiT

"façon" would require a verbal complement here : façon de faire quoi ?
You can however you "moyen de transport" ("means of transportation")

You need an adjective here, and "vite" only is an adverb => rapide
the FASTEST (superlative) => LE plus rapide (just "plus rapide" would be a comparative)

the cheapest = le moins cher (literally, "the least expensive")

I'd keep "putain" for much, much more colloquial contexts

"SUR un avion" means you're outside on the roof (and I concur it's not a very pleasant way to travel)

L'aeéroport fais me stresse toujours et ilça me prends beaucoup de temps juste pour y arrriver à l'aeroport, parce qu'il est toujours loin.

"stresser" is directly transitive, so you don't need "faire"

"IL me prend" would mean the airport takes time. Here you're repeating a whole verbal phrase, "going to the airport", so your pronoun can only be "ceci/cela/ça"

y = à l'aéroport, là-bas (it would avoid repetitions)

Je suis arrivée à Londres à 23 h 40 et j'étais à 2 heure pars de bus de chez mon amie/la maison de mon amie.

être À une distance
"de" is used between the time and the means of transportation => deux heures DE bus, dix heures D'avion, etc

j'étais très fatigue et tousée, tout ce que j'aie voulu ais, c'était s'endormir, et le bus conduisavançait très très lent, j'ai resement, je sentiais que je devienais folle.

tirED = faitguÉE (feminine agreement)
"fatigue" is a noun

touT = everything (singular)
"tout CE que je voulais", lit. "all this that I wanted"

It would be more natural to say you wanted to "sleep" ("dormir") and not just to "fall asleep" ("s'endormir")

"conduire" means manipulating a vehicle, so "le bus conduisait" means the bus was driving another vehicle. At the very best you could say "ÉTAIT conduiT" (passive), but it wouldn't sound natural at all, since the point is it wasn't moving fast
avancer = to move forward

Adverb modifying the verb => lenteMENT

"ressentir" is mostly used with noun and used for deep, long-lasting sensations

Focus on a background state, process = imparfait => voulais, sentais

Mais finnalement, le bus est arrivé à le 'endoit où mon amie me recontr'attendait.

le/la+vowel => l'
"rencontrer quelqu'un" in French means meeting someone for the first time, unexpectedly/randomly or in pretty official circumstances. "attendre" ("to wait") would be a great pick here

il était 3 h dans leu matin quand nous rentrions àsommes rentrées chez elle.

3 h DU matin, DE L'après-midi
Main action of the narrative, focus on the consequences/the fact it's achieved = passé composé => nous sommes rentrées

J'ai euvais jamais besion leu besoin d'autant de sommeil autant.

Past action ("avoir besoin") from a past perspective (your trip) = pluperfect => avais besoin
"autant DE quelque chose", same logic as "beaucoup DE", "plus/moins DE" etc

Mais le prochain matin, après beaucoupmatin suivant, après une bonne nuit de sommeil, j'aie me sentai plus mieux et mon amie et moi avons commencé notre aventure à Londres.

"prochain/suivant" is the same difference as between "yesterday/the day before" or "today/this day"
"après beaucoup de sommeil" doesn't sound very natural, although it's grammatically right
to feel [+ adj.] = SE sentir
"plus mieux" is impossible for the same reason as "more better" in English
An auxiliary verb is missing => AVONS commencé

Elle habites à Londres donc elle montrait moi autour de Londres'a montré/m'a fait découvrir la ville.

A literal translation of "to show someone around" wouldn't work here

Nous passionsavons passé beaucoup de temps dans les musées et galleries d'art.

j'ai mangé pris un/le vrai petit déjeuner britannique avec ldes haricots sur du pain grillé.

Food is eaten but meals themselves are "taken", in French => j'ai pris

"UN petit déjeuner" would be more natural, but "le" wouldn't be shocking in this case

Indefinite quantity of something countable = des => DES haricots
Indefinite quantity of something uncountable => de [+le/la] => DU pain

je souhaite que j'aie apSi j'avais su, j'aurais emporté des vestes plus fortchaudes, parce que 'il faisait très froid et que je suis tombée un peu malade.

You certainly meant "I wish I had brought", which would be translated using a past conditional here, "j'aurais aimé" lit. "I would've liked to"
Most natural alternative => si j'avais su, j'aurais emporté...
to bring something along with you = EMporter

"une veste forte" doesn't make sense, but it can be "chaude" if it keeps you warm

parce que+il => parce qu'il

"je suis tombée malade" also depends on "parce que", so it's indicated by another "que" => et QUE je suis tombée

C'était pas maltrès grave, mais ennuyeux.

"c'était pas mal" would mean your experience being ill wasn't so bad, which looks somehow odd
You certainly meant your illness wasn't serious => c'était pas très grave

j[J'aurais apporté un petit sac aà dos surdans l'avion alors ma veste était plus gros et je suis venuvenais de France où il faisait beau. ?]

I'm not sure I'm grasping this one: you wrote that you brought a little purse on the plane and CONSEQUENTLY, your jacket was bigger

Toujours j'aiJ'ai quand même passé unde bonnes vacances.

I guess you meant "still" (adverb), in the sense of "despite that", so it would be "quand même"
"toujours" is "still" as in "I'm STILL sick" (= I was sick and I still am today)

"vacances" is always pluralized when it means "vacation"
"UNE vacance" (singular) means something else

Mon amie me manque beaucoup et c'était tellement sympa àde passéer plus de temps avec elle.

c'est sympa DE FAIRE (infinitive) quelque chose => sympa DE passER