Comme j'avais envie d'aller aux États-Unis depuis mon enfance, avoir la chance de faire mes études là-bas , c'était comme si un rêve se réalisait.

That would make the sentence a bit more fluid

Pendant mes études, j'ai eu la possibilité de visiter plusieurs sites touristiques comme la statue de la Liberté, le pont de Brooklyn, ce que je n'avais vu que sur'à la télévision.

"que" is a relative pronoun repeating "statue de la Liberté" and "pont de Brooklyn" here
voir/regarder quelque chose À la télévision

Je me suis également entré en contact avecfait plusieurs nouveaux amis à l'université, qui m'ont beaucoup appris sur la culture Aaméricaine.

The usual verb for making friends is "se faire des amis"; "entrer en contact" is a very broad term, which precisely means having a contact with someone
Ethnicity adjectives aren't capitalized, unless they're used as nouns

Cependant, le seul problème auquel je devais'ai dû me confronter étaita été la barrière de la langue.

I'd rather consider this as an achieved action whose focus is on consequences, but the imparfait wouldn't be wrong

Bien que j'aie acquise un niveau d'anglais presquelutôt élevé, j'ai eu du mal à bien comprendre les cours des professeurs.

Passé composé du subjonctif => bien que j'aie acquis

En général, c'était une expeérience inoubliable et j'espère que je pourrais visiter ce pays encore une fois le pays à l'avenir.

pourraiS = conditionnel présent ; pourrai = futur de l'indicatif
Even better => que je pourrai visiter ce pays de nouveau
The future tense and "encore une fois" make "à l'avenir" somewhat redundant, but it's a subtlety