Les courses, de à mon université, ont commencé le 28ème d' août et depuis là j'auraisj'ai dû de changer totalement mon joura routine.

courses : (féminine, plural, pronounced "cour-se" that is, you don't pronounce the plural ending "s".) this can means "a race" (like a horse race : courses de cheval) or shopping (ma liste de courses : my shopping list)
cours : (pronounced like cour) is the lessons. It can also mean other things, but let's stick to "lesson" for today :)

"le 28ème d'aout" is the English way. We simply say le 28 août :)

j'aurais dû ~ I should have
J'ai dû ~ I had to

Il faut que je me lève auxà 5 heures du matin pour me 'habiller, me doucher, me brosser mles dents, manger, etc, et puis je sors de chez moi pour arriver à l'arrêt de bus auxà 6:30 du matin et puis j'arrive à mon université à 7:30am du matin pour mon petit job.

à 5 heures : I understand you felt like using a plural ("aux") because of the number of hours (5 heures). But here we stick to a singular as "5 heures" designates one particular moment in time... And I agree that this plural to "heure" is a bit disturbing. btw, bravo for not forgetting it.

"me habiller" -> "m'habiller", I think this is due to the fact that this "h" is mute...

In french "je brosse mes dents" feels a bit weird. You are performing an activity on a part of your body. I think this is related with some verbs allowing both pronominal uses and direct transitivity. Sorry for the swear words.
pronominal verb : a verb that is performed on yourself
direct transitive verb : verb that can be performed on an object
For instance, "laver" accepts both forms : direct transitivity ("Je lave le chien" performed on the dog) and pronominal ("je me lave" performed on myself, "me") btw, in this case the verb is not really "laver" but "se laver", and obviously we never say "je lave moi".

When performing such an action on one part of your body, you'll use the pronominal form : not "je lave mes dents", but "je me lave les dents". The same with brushing ("je brosse les poils du chat" but "je me brosse les cheveux"), "je me rase", "je me maquille" etc...

"je sors chez Bébert" : "je sors" means that you are leaving, probably your home. Then "chez Bébert" means this is where you are going. "Je sors chez moi" is probably a Zen say :)
"je sors de chez Bébert" : I am leaving Bébert's place.

Franchement c'est lourd qu'il faut que jede devoir me lèeve tropr si tôt juste pour aller là-bas et c'est juste pour les mardis et jeudis.

"trop tôt" : too early, here you want "that early"/"so early" : "si tôt"

I don't understand the sentence that well. "et c'est juste"~"and it is just". Seems to me that what you mean here is more like "fortunately it is only these two days"~"mais heureusement ce n'est que"

Dans lLes lundis, mercredis, vendredis, il faut que j'arrive à maon premièrer course au à 9:20 du matin.

alternatively
"...les cours débutent à 9:20 du matin"
"...les cours ne débutent qu'à 9:20 du matin"

Je ne sors pas de l'université jusqu'auxavant 16 ou 17 heures... au moins j'ey étudie là pour gratuit dans mon université ougratuitement, sinon j'irais dans une autre université plus proche de chez moi.

"jusqu'à" indeed means until, but more like in the sense of "the space from here to there" or "the time from now to then". What you mean to say here is that you stay. Therefore, we would actually say "Je reste à l'université jusqu'à 16h ou 17h". I Hope it makes sense to you :)

Now we can also say what you had in mind : "I don't get out of the darn place before" : "je ne sors pas avant"

"For free" : well tried, but it doesn't work like that in French : "gratuitement"

"j'irai" : future (I will go) / "j'irais" conditional : I would go... Prononciation is the same though.

Les courses, de mon université, ont commencé le 28ème d' août et depuis là j'aurj'ais dû deu changer totalement mon joura routine.

Il faut que je me lève auxà 5 heures du matin pour me 'habiller, me doucher, me brosser mles dents, manger, etc, et puis je sors de chez moi pour arriver à l'arrêt de bus auxà 6:30 du matin et puisenfin j'arrive à mon université 7:30amà 7h30 pour mon petit job.

Franchement c'est lourd qu'il faut que je mdur de devoir se lèeve tropr aussi tôt juste pour aller là-bas et c'est juste pour les mardis et jeudis.

Dans lLes lundis, mercredis, et vendredis, il faut que j'arrive à mapour mon premièrer course au à 9:20 du matin.

Je ne sors pas de l'université jusqu'auxà 16 ou 17 heures... au moins j'eétudie là pour-bas gratuitement dans mon université ou sinon j'irai dans une autre université plus proche de chez moi.

Les courses, de mon université, ont commencé le 28ème d'août et depuis là j'aurais dû de changer totalment mon jour.

Le cour ont débuté le 28 août