Il n'appelle jamais avant de passer, même si on le lui a demandeé plusieurs fois.

La phrase est un peu étrange car elle laisserait sous-entendre que parfois vous lui demandez, parfois non. Je considèrerais plus que cette habitude présente contraste avec des demandes faites dans le passé, avec quelque chose comme => on a eu beau le lui demander plusieurs fois, il n'appelle jamais avant de passer
on a eu beau le lui demander = même si on le lui a demandé (on lui a demandé, mais ça n'a eu aucun effet)

Je ne sais pas qui était la femme, il l'introduitnous a seulement pardonné son nom.

Décliner l'identité de quelqu'un, c'est le présenter. Il y a quelques cas restreints où « introduire » a le même sens, mais il s'agit largement d'un faux ami.
Cependant, pour un nom seulement, on ne parlerait même pas de présentation... Enfin, pour moi !

Je me demande si elle est/si c'est sa nouvelle petite amie parce qu'il en a une nouvelle tous les trois mois, ce qui est quelque chose de drôle chez lui.

Après qu'il est parti, mon mari et moi avons travaillé dans le jardin.

après QUE [+proposition]
« après son départ » serait plus naturel

On a fait de bons progrès, je suis contente.

Accord pluriel => de bons progrès
« progrès » est quasiment toujours au pluriel en ce sens