Ma journée à lau marché

"marché" is a masculine noun

Aujourd'hui, je vasuis à laallée au marché avec mon amie Emily.

If the action already happened, you have to use a past tense => je suis allée

Elle a voulu vaait y aller parce qu'elle a vouluait acheter des légumes.

y = there, au marché

Nous nous sommes recontrés (à?)donné rendez-vous chez elle et puis nous sommes allées lau marché à pied.

"Se rencontrer" isn't wrong in itself, but feels odd. It really has the connotation of meeting someone for the first time or stumbling upon someone. When you give a rendez-vous point to someone you know, "se rejoindre" or "se donner rendez-vous" is better
"chez" already means "at someone's home" so you don't need "à"

Quand nous sommes arrivées, j'ai voulu des glaces alors nous en avons acheté et j'avais des; j'en ai pris une à la fraise(s?), et Emily avait dune au chocolat.

"j'avais des fraises" would mean "I had strawberries" (actual fruits)
"j'en ai pris une à la fraise" (en = des glaces) would mean "I had some strawberry ice-cream". "À la/au" is widely used to indicate the flavor of something, and "aux" usually indicates the ingredients a type of food has: "des glaces au chocolat, une charlotte aux fraises, un gâteau aux pommes" etc

Apréès ça, Emily a acheté dueux sacs de carottes, 300g de petit pois, et un sac de pommes de terre, plus une bouteille de vinaigre qu'elle a failli oubli(er , é?).

"faillir" is a cognate of "to fail", so you may remember "to failed TO DO something" to remember you have to put an infitinive (-er) afterwards, and not a past participle (-é)

Tandis qu'elle achetait des légumes, j'ai acheté ladu pain et un carton des 'œufs.

j'ai acheté un pain = I bought a loaf of bread
J'ai acheté du pain = I bought some bread

ÀPour mon amie [?], c'était un succéès.

Did you mean "according to your friend's opinion"? In that case, it'd be "POUR mon amie"

J'ai pris le bus pour rendtrezr chez moi.