La Ssignificancetion de Mmon Nnom

We only capitalise people's name or that of cities and countries.

J'ai deux noms : mon nom chinois et mon nom anglais.

We have a space before colons.
And actually I would replace it with a coma "J'ai deux noms, mon nom chinois et mon nom anglais." :)

Je le trouve drôle que quand ldes parents asiatiques choisissent un nom anglais pour leur enfant, c'est juste un chose aléatoirele choix est aléatoire et basé uniquement sur un son qu'ils ont vaguement aimés à le tempsun moment donné.

Sur l'D'un autre côté, mon nom chinois est tréès speécifique, et il est le fruit de beaucoup plus de penséeréflexion.

plus naturel :
"À l'inverse, mon nom chinois est très spécifique et a fait l'objet d'une longue réflexion."

Le premièrer est mon nom famille.

La première / le premier

Le deuxième est un mot qui indique lema generation de moi (alor. Ainsi mon frère est moi avons les mêmes mots pour nos premièreers est deuxièmes caractères dans nos noms.

For what I understand ideograms are more like ideas than real words (mot) aren't they ?
"Le second indique ma génération. Ainsi mon frère et moi partageons le premier et le second caractère de nos noms."

Je pense que ce système est génial).

Cependeant, mon deuxième mot est un peu ennuyeux.

ennuyeux ~ boring
I think here you want more something like "problématique".

C'est un mot tréès vieux, alor si je voudrais le tape caractère, alors quand je veux le taper à l'ordinateur, je dois taper des clé particulières.

"si je voudrais" doesn't exist. The closer would be "si je voulais" (if I'd like to), but that's not what you are looking for. I think you want the simple present "si je veux" or "quand je veux".
"C'est un caractère antique, alors quand je dois le taper à l'ordinateur, il faut entrer des clés particulières."

Mon dernier mot c'est ça:caractère est 霓.

Le sur-moitié(?)la moitié supérieure

signifie la pluie est le sous-moitié(?)a moitié inférieure

signifie un enfant.

Oh ? I didn't know this one !
Just started to learn Japanese this year, and saw 子 for child.
by the way, I just checked and 霓 seems to be a seldom used character in Japanese too, with the meaning of "rainbow".

Ils ont choisissent ce mot ce caractère parce que je suis né sur un jour de pluie.

"ils choisissent", "ils ont", "ils ont choisi"

Je pense que cette histoire est tréès mignonne.

"Ce récit est mignon", "cette histoire est mignonne"

De plus, beaucoup de person m'anes m'ont dit que mon nom chinois est un peu unique, est je pense lea même chose.

"est" : the verb "to be". "he is"~"il est". It can also be the east direction (written the same, but but we pronounced differently.).
"et" : and

La Ssignificancetion de Mmon Nnom

"significance" doesn't exist
No need to capitalize every word of a title in French

J'ai deux noms : mon nom chinois et mon nom anglais.

Space before and after : ; ? ! « » %

Je le trouve ça drôle que quand les parents asiatiques en Amérique du Nord choisissent un nom anglais à/pour leur enfant, c'est juste une chose aléatoire qu'ils ont aimés à qu'ils ont aimée/qu'ils ont appris à aimer avec le temps.

Here the pronoun announced "that Asian parents pick an English name for their child", so you'd be forced to go for "ça/cela"

You might want to specify "en Amérique du Nord" because AFAIK, it's far from being a usual practice in Asia, except in Hong-Kong and some former British colonies

"chose" is feminine => unE

I'd drop "aléatoire" here; "random" would sound natural in English but here "aléatoire" wouldn't

Accord du COD antéposé => une chose qu'ils ont aiméE

You can say something like "qu'ils ont appris à aimer" to emphasize it was a gradual process

with time = avec le temps

Pour moi, ma mère a choisi le nom d'un personnage de "Theu « Da Vinci Code »."

French quotation marks => « »

Sur l'autre côté, mon nom chinois Mon nom chinois, en revanche, est tréès speécifique, et il est le fruit de beaucoup plus de penséeréflexion.

on the other hand = D'un autre côté
This phrase is often used with "d'un côté..." and is rather used to consider advantages/disadvantages, good sides and bad sides of a given thing/situation
A simple contradiction between two ideas/statements is best expressed with things like "cependant", "toutefois", "en revanche" or "néanmoins"

A long or deep thinking process is "une réflexion"

Il y a trois caractères dans un nom chinois.

Le premièrer est mon nom de famille.

"caractère" is masculine => le premier
"de" to connect both nouns => nom DE famille

Le deuxième est un mot qui indique le generation de moi (alor ma génération (mon frère est moi avons les mêmes mots pour nos première est deuxième caractères.donc nos deux premiers caractères en commun,

"MA génération" for the same reason you'd say "MY generation" in English

mon frère ET moi = my brother AND me
mon frère EST moi = my brother IS me!

I've changed the element in parentheses for something clearer and simpler

Jje penstrouve que ce système est génial).

Something coming from a feeling/an impression, what you "feel like" it is, is rather "trouver"
"penser que" indicates a more mental, reflexive process

Cependeant, mon deuxième motcaractère est un peu ennuyeux.

I changed to "caractère" because the notion of "word" is a bit ambiguous when it comes to Chinese

C'est un mot tréès vieux, alor si je voudraisancien, alors quand je veux le taper, je dois taper des clés particulières.

If you want the adjective after the noun, "ancien" would be better (it's also a bit more meliorative and elegant)
Everytime A happens, B follows = present in the subordinate clause, present in the main one ("quand" is also better for this use) => quand je veux... je dois...

Mon dernier mot c'est çacaractère, c'est celui-ci : 霓.

celui-ci = this one (better here)

Le sur-moitié(?)a moitié supérieure/du dessus

"sur-moitié" doesn't exist
supérieur, du dessus = superior, on top

signifie la« pluie » est le sous-moitié(?)a moitié inférieure/du bas

Words quoted as lexical units don't take articles and are ideally put in quotation marks

inférieur, du bas = inferior, on bottom

signifie un« enfant ».

IlMes parents ont choisissent ce mot ce caractère/ce sinogramme parce que je suis né sure un jour de pluie.

"ils" makes the sentence oddly impersonal here; "mes parents" would sound better
Past participle of "choisir" => choisi
Feminine agreement with "je" => je suis néE
Days and parts of the day don't need prepositions to be introduced = un jour

Je pense que cette histoire est tréès mignonne.

Feminine agreement => mignonne

De plus, beaucoup de person m'agens m'ont dit que mon nom chinois esétait un peu unique, est je pense le mêmepareil/je pense la même chose/je suis du même avis.

"people" in general = gens
"beaucoup de gens" implies something plural, so => m'ONT dit
Sequence of tenses = ils m'ont dit que mon nom ÉTAIT

Alors, je l'aime bien.

It would be better to merge this part with the previous sentence using a comma, unless you really wanted to give the sentence some stylistic effect and insist on "je l'aime bien", in which case, you can keep it as an independent sentence