Je pense que la période de l'année qui commence à la début de Décembre et qui va justqu'à Noelël, c'est la pire pour deux raisons.

Unless you want to be very formal and write "au début du mois de décembre", people usually say "début décembre, mi décembre, fin décembre" in such cases (without article nor "de")

Premièrement, l'hiver typiquement commence danscommence habituellement durant/à cette période et je détéeste vraiment l'hiver : il pleut et neige toujours là où j'habite, et on doit porter des vêtements d'hiver quand onous sortons, et quand c'est le cas/quand on len fait, onous souffronse quand même du froid, donc personne ne sort.

"typiquement" in the sense of "usually" is an anglicism (although some people use it, it's better to avoid it)
<ss>, <st>, <sp> and other <s+consonant> combinations, <e> always is pronounced /e/ so you don't need any accent (except in some modern words built with the prefixes, like dé- for instance) => détester
A space before and after : ; ? ! « »
You can use "on" for "nous", but it's better to mix up both pronouns. Your "we" is pretty general/impersonal here, so "on" would defnitely be better

C'est tellement une période tellement insupportable.

Would be much better to connect "tellement" to the adjective

La deuxième/seconde raison appliqu raison est valable depuis que j'ai commencé mes études à l'université.

"to apply" is "s'appliquer" in the case of a rule or a law, but for a reason, it sounds a bit awkward

Les examens finauxpartiels commencent aussi dansà cette période, et cela ajoute à la souffrance.

les partiels = final university exams after each semester

Même si je pourrvais supporter/endurer l'hiver, je ne peuxourrais pas sortir parce que je n'aiurais pas le temps de faire autre chose que d'étudier et peut -être manger.

même si = imparfait in the "si" clause, conditional mood in the main one => même si je POUVAIS, je ne POURRAIS [...] je n'AURAIS (both depend on the "si" condition)

J'ai même arrêté d'aller à la salle du sport, ce qui était une activité [habituelle de ma vie /quotidienne] pour moi.

You're repeating the whole verbal group here ("aller à la salle de sport"), so this would require "ce qui". "Qui" would refer to a noun, meaning "la salle de sport" itself
"activité habituelle de la vie quotidienne" feels heavy and redundant. You can simplify by merely saying "activité quotidienne" (if you hit the gym every day) or "habituelle" (if it was just usual)

Pourtant, je suis content, parce que ça va passer éventuellementl'hiver va finir par passer.

Big false friend. "Éventuellement" means "possibly" in French
Here the "finir par" structure would be a nice pick to translate "eventually", but it can also be done using adverbs or phrases sometimes, like "finalement" or "au bout du compte"