La mañana

El título está bien, pero te sugiero otras opciones:
"Por la mañana", "Mis mañanas"... si describes una mañana típica.
"Esta mañana", "Relato sobre esta mañana", "Relato de mi despertar", si es una mañana específica.

Repito, son solo sugerencias.

Hola, ¶
M:¶
Hoy me desperté a las seis y medioa de la mañana.

Lo habitual en español es usar los dos puntos cuando escribes un correo electrónico o una carta. También puedes usar los puntos de exclamación: ¡Hola!

"Media" es lo habitual para la hora, en femenino.

Estoy bien cansada, pero es algo que necesito hacer para mi trabajo.

Otras opciones: pero es algo que tengo que hacer, pero necesito hacerlo

Yo trabajo para en un museo.

Pero, normalmente yo iba asuelo despertarsme a las diez de la mañana.

También: Si no fuera por mi trabajo, me despertaría a las diez....
Es una opción más avanzada.

Ya no lo puedo hacerlo.

YoMi deseo sería que los museos puede abrireran a las once para los que se despiertarsen tarde.

También:
Desearía que los museos abrieran a las once para los que se despiertan tarde como yo.
Mi sueño sería que os museos abrieran a las once para los que se despiertan tarde como yo.
Me encantaría que os museos abrieran a las once para los que se despiertan tarde como yo.