Mentre io scaldo la padella, io svuoto la lavastoviglie.

The subject is implied so you don't have to say "io" every time. In Italian usually we don't say the subject because it's easy to understand it from the verb.

Alcune dei piatti sono sporchi.

Quando la padella è calda, io metto ilo burro nella padella.

Rompòo due uova nella padella.

Quando le uova soaranno cotte, le mangiaroerò.

If you want use the future you need to coordinate the verbs, so future of sono for 3 plural person is saranno, and you have to put the future also in the second sentence so it's mangerò

Le uova sono deliziose.

If you put Le you have to specify the subject uova. Or Sono deliziose without the article.

Oggi, preparo la colazione.

Mentre io scaldo la padella, io svuoto la lavastoviglie.

i pronomi personali come "io" sono quasi sempre sottintesi in italiano, tranne quando è necessario specificarli. Mettere "io" in ogni frase non è grammaticalmente sbagliato, ma non è naturale

Alcune i (dei) piatti sono sporchi.

- piatti (maschile plurale) -> alcunI (maschile plurale)
- "dei" qui è opzionale, indica che ti riferisci a dei piatti in particolare

Io lLi laverò di nuovo.

come detto sopra

Quando la padella è calda, io metto ilo burro nella padella.

- l'articolo maschile "lo" si usa con parole che iniziano per z, x, y, s+consonante, gn, ps, pn. Burro non ricade tra queste, è maschile, quindi usiamo "il"
- per rendere la frase più naturale, sostituisci la ripetizione con la particella "ci": "Quando la padella è calda, CI metto il burro" (ci=nella padella)

Rompòo due uova nella padella.

Quando le uova soaranno cotte, le mangiaroerò.

se usi il futuro, è buono usarlo da entrambe le parti. Nella lingua colloquiale, spesso si usa anche il presente "Quando le uova si cuociono, le mangio"

Le s[Esse] Sono deliziose.

Forse stavi cercando il pronome, te l'ho messo tra parentesi. Per la 3a persona plurale è "loro" (persone) o "essi/e" (cose/animali). Ma di nuovo, si lascia sottinteso ;)