J'ai constaté hier qu'il commence à chaufferçait à faire chaud.

Since you're talking about something that you foud out in the past, you should use the past tense all along to talk about it, and chauffer is more for "small" spaces (like an oven or a room) but when you're talking about the weather you should use "faire chaud". It is also used to talk about the temperature in big spaces (like a building, or a room too). You can use a room as a marker where you can use both.

Presque chaque jour sera plus de 30°C, le plus élevé Il fera plus de 30°C presque chaque jour, allant jusqu'à 36°C mardi.

What you wrote was understandable but a bit awkward. Important point : when you're talking about the temperature for the weather (or in a room) you use the verb faire, but when you talk about the temperature of something you use the verb être (le four est à 80°C, l'eau est à 30°C, ...) and when you talk about a fever you use the verb avoir (j'ai 39°C de fièvre).

Tout est plus difficile à faire dansavec la chaleur, et je serai obligée de garder les fenêtres et volets fermés, sauf la nuit.

Je courrai le soir/ dans la soirée ou tôt le matin, mais c'est toujours plus désagréable.

Je courrai la soirée ou tôt le matin, mais c'est toujours plus désagréable.

Just a tiny comment :
"plus désagréable" somehow gives the feeling it is always, at least a little bit, a pain.
I know for me running would be all the time a pain, but if you enjoy it usually, you'd rather go for "moins agréable". If you really want to say that it becomes a pain, while leaving out how it usually feels,, you can go for "mais cela rend l'expérience désagréable" or "bien que cela rende l'expérience désagréable."

J'ai constaté hier qu'ile ça commence à chauffer.

On n'utiliserait pas l'explétif « il » dans cette expression familière

Presque chaque jour s, il fera plus de 30 °C, le plus élevé àet mardi sera la journée la plus chaude, avec 36 °C mardi.

On sépare normalement le nombre du signe degré + Celsius, Fahrenheit, etc. Bon, ce n'est pas bien grave si vous l'oubliez !
« le plus élevé » pose un peu problème ici car ce sont les températures du jour qui seront élevées, par le jour lui-même !

Tout est plus difficile à faire sous/dans la chaleur, et je serai obligée de garder les fenêtres et volets fermés, sauf la nuit.

Je courrai lae soirée ou tôt le matin, mais c'est toujours plus désagréable.

le soir/le matin
« dans la soirée/la matinée » serait également juste