Már léteztek kereskedelmi kapcsolatok a magyarok és a többi európaival között nem sokárakal azután, hogy a magyarok beköltöztek a Kárpáti medencébe.

Here the "a magyarok és a többi európai között" would be correct if you want to say it in a general sense. Or you can go with "a magyarokkal és más európaiakkal" if you say this from a specific country's perspective.
I know it might be a bit confusing but in Hungarian we call the Carpathian basin as Kárpát medence.

Ebben a dokumentumban hivatkoznak kereskedelmi kapcsolatokra a déli Oroszországi és a Közép- Duna tartományai között a kilencedik században.

Here you have to put the "i" on the "Oroszország" instead of the "dél" because "dél Oroszország" is the whole phrase/name that you refer to with the "i" suffix.

Arról a kereskedelemről van szó, amely Ausztria és az Oleg korai Oroszország között folyt, sőt egy kicsit korábban is.

The word "korai" means "early". So if you did want to say "Oleg era" then you have to use "kori" (kor [era] with an "i" suffix).

A raffelstetteni vámrendelet az úgynevezett "Ostmark"-ra vonatkozott, amelyet Auaz Osztriaák hercegség előzményének lehet tekinteni.

The definite article "az" needed before the "Osztrák hercegség".
And you can use either "Osztrák hercegség" or "Ausztriai hercegség" there, but Osztrák is more natural to use if you want to say Austrian.