Vid det här laget borde vi redan ha fått reda på resultaten från nomineringsvalet som ägde rum i Iowa igår kväll.

This is perfectly fine as it is. Just in case you'd like to streamline it a little bit, you could make use of "gårdagens" (="of yesterday") or even "gårdagskvällens" instead of "som ägde rum [...] igår kväll":
"[...] resultaten från gårdagskvällens nomineringsval i Iowa."

Men ett problem med hur resultaten samlas ihopn har orsakatlett till fullständigt kaos inom processen som är vanligtvis ettär en viktigt ögonblick under del i nomineringsvalet.

"samla ihop" makes me picture everything being collected in a single place, but in a state that isn't necessarily intended to be organised (i.e. the focus is on ensuring that all items are accounted for, but no further processing is required afterwards)
"samla in" makes me picture structured collection of data, answer sheets (i.e. the items that are being collected were given out specifically for the purpose of later being collected)

The tense "samlas" vs "samlades" is debatable. Both could be correct, but with slightly different meanings: "samlas" implies that the process is still ongoing or that this is generally the case, whereas "samlades" implies that the process is over and that this was the method used in this particular case (with nothing said about other cases).

In Swedish, "orsaka kaos" isn't really a common collocation. I would rather use "leda till kaos" (lead to chaos) or "orsaka problem" (cause problems).

Note the word order: "processen SOM (vanligtvis) ÄR [...]"

"ögonblick" feels strange here, since a "process" would last longer than just a moment.
My best suggestion (which feels natural and ok, but doesn't perhaps quite capture the feeling of the original) would be to use "ett viktigt steg" (step/stage) or " en viktig del" (part/component) "[...] vanligtvis är en (ett) viktig(t) del (steg) i nomineringsvalet."

Det dDemokratiska partiet gav lokala representanter en mobilapp att använda för att rapportera sina resultat, men många hade svårigheter med att använda appen.

I'll note that I'm not 100% certain about the capitalisation of the party in Swedish. My guess would be that it should be capitalised, to avoid confusion with the more general adjective democratic/demokratisk(a)

Många bestämde sig för att ringa in istället men telefonlinjerna kunde inte klara så många samtal samtidigt.

You can have "bestämma något" or "bestämma sig för något" or "bestämma sig för att göra något", but NOT "bestämma att göra något".

Det Demokratiska partiet i Iowa säger att det fanns ett tekniskt problem med appen, som innebär att resultaten som skickades in var felaktiga.

"säger att det fanns ett tekniskt problem med appen" sounds ok, but it sounds even better and more natural with "säger att appen hade ett tekniskt problem [OR ett tekniskt fel], som innebär [...]"

For some reason, just saying "resultaten var fel" sounds unnatural, but I'm afraid I can't explain why. I'd go with either "resultaten [...] var felaktiga" or "resultaten [...] stämde inte" (or in this clause "som innebär att resultaten [...] inte stämde", NB the word order).

Det är tänkt att en del av resultaten ska släppas senare iunder dagen.

You can have "senare idag" ("later today") or "senare under dagen" (later during the week), with no real difference in meaning that I can think of.
By contrast, other periods of time work with other prepositions (the following are all possible):
"senare i veckan", "senare under veckan", "senare den här veckan"
"senare den här månaden"
"senare under året", "senare det här året"

The following are NOT possible:
"senare i månaden", "senare under månaden"
"senare i året"