たくさんの用事があるのに、Aは平気を装っっても、Aは落ち着いて一つずつします。

「落ち着いて」の代わりに「慌てずに」や「冷静さを保ち」でもいいです。
「平気を装って」はwith pretended calm みたいな感じです。

たくさんの用事があるのに、Aは平気を装って静さを保ち一つずつ処理します。

「装って」だと、本当は平気ではない、という感じがしますね。

終わって全てを済ませ、リラックスできるのを楽しみにしています。

たくさんの用事があるのに、Aは平気静を装って一つずつします（平気なふりをして）一つずつ済ませます（終わらせます）。

用事を済ませる、用事を終わらせる

（すべて）終わってリラックスできるのを楽しみにしています。