Quand j’étae suis née, j’avais un prénom différent que mon prénom maintenant.

your birth being a very sporadic event (not a repetitive event, nor a long period (although your mother might have something to say about that) ), you'll use "passé composé" rather than "imparfait".

more natural : "Quand je suis née, pendant quelques jours j'ai porté un prénom différent de celui que j'ai aujourd'hui."

Voici l’Je vais vous raconter cette histoire : m. Mes parents avaientont eu trois enfants avant moi.

What comes after the colons should answer what comes before. The whole story being the object of the entire text, and not just the end of the sentence, you can't really use that punctuation here.

"Mes parents avaient un chat" : they had, but they don't have it anymore.

Il y avait mes deux frères et ma sœur.

Actually, here you could have use for the colons :)

"Mes parents ont eu trois enfants avant moi : mes deux frères et ma sœur."

Quand j’étae suis née, ma mère voulait m'appeler Alexandria, mais mon père voulait m’appeler Bethany.

Pendant trois jours, je m’'appelais Alexandria.

Again, feels better with a "passé composé" than "imparfait".
"Pendant trois jours, je me suis appelée Alexandria." (it is a singular event and a short moment in time)

Il y a une vidéo où mes frères et ma soeur me chantent “Bonne Anniversaire” à moi et ils dism'appellent “Alexandria” de mon prénom.

ou bien "...et ils utilisent le prénom « Alexandria » "

Un ou deux jours après que je suis née, mon père est allé departi en voyage pour son travail.

ou bien "un ou deux jours après ma naissance"

Pendant qu'il était alléparti, ma mère a changé mon prénom, et elle m'a appelé Bethany.

Maintenant, c’est mon preénom.

ou bien
"Et c'est resté mon prénom jusqu'à aujourd'hui."

Je pense que j’aurais préféré à Alexandria parce que ma sœur s’appelle Brittany.