JeIl faudraist que je mettre maon historire à jour

"falloir" only works with the dummy pronoun "il" to build impersonal sentences, so if you want a subject, you have to build a subordinate clause with "que" and use the subjunctive mood
A simpler way to do it is to use "devoir" => je DEVRAIS mettre mon histoire à jour
"histoire" is feminine but starts with a vowel sound, so for euphonic reasons, masculine possessives are used => MON histoire, TON opinion, SON amie etc

PendantEn août de l'année dernieère, j'aivais commencé publier une histoire à épisodes.

Past action (commencer) from a past perspective (voyager and everything you narrate here) = past in the past => plus-que-parfait

J'ai l'intention d'avoécrire cinq chapitres, et j'étais vraiment déterminée à l'accompliere faire.

"j'avais" if you don't really want this anymore

C'était aussiÇa allait tellement loin que je me suis couchaisée tard pendant plusieuers nuits den suite/d'affilée pour écrire les nouvellesaux chapitres.

I'd rather see "coucher" as something accomplished you consider the consequences of => passé composé
Would be better to drop the "durant" here (nights, days etc don't necessarily need prepositions to be introduced)
"chapitre" is masculine => nouveaux

Mais, je voulais modifier le troisième chapitre, alors ma série [de victoire a eusuccès ?] a été interromprue.

"une victoire" is something you win after a fight. It wouldn't really fit here. You could use "succès" but that wouldn't be a very neutral way to phrase it. That would keep the idea of achieving something though. I don't have any better ideas for now.
passé composé, voie passive => a été interrompue ("was interrupted")

Puis j'ai voyagé pendent une semaine et devenirj'ai été trop occupée et fatiguée avant que la nuit/dans la soirée pour écrire.

The most natural way to phrase it would be "je suis partie une semaine en voyage" IMO. Anyway I wouldn't leave the "durant" for the same reason as above
avant que + subordinate clause ; avant + noun

Puis j'ai besoin de preparEnsuite, j'ai dû réviser pour certains devoirs d'été... puis l'école a (re)commencé... j'ai mettre la is l'historire à jour avec une nouvelleau chapitre il y a quatre mois.

Unlike the English "need", the French "avoir besoin" is limited to things you strictly require/things you lack. When you MUST/HAVE TO do something, verbs like "devoir" or "falloir" are used
réviser = to study for an exam
I'd use "REcommencer" ("start again") unless you weren't in any school the year before
past participle of "mettre" => MIS

J'ai honte pour ne donner pas du nouveau pourde ne pas avoir donné de suite(s)/de nouveaux chapitres à mes lecteurs.

avoir honte DE quelque chose
donner quelque chose À quelqu'un
"avoir donné" since you're ashamed of a past, accomplished action
"du nouveau" exists in some expressions (like "il y a du nouveau dans cette affaire") but here you'd need to use a noun. You can also use "
une suite = a continuation, a sequel

Quand j'avais inspecté laes statistiques de lamon histoire sur le site, j'aivais vu que j'avais dix-neuf abonnée de las (à mes histoires), qui sont en attendaient du nouveaula suite.

Both actions were simultaneous, so both would require the plus-que-parfait
"statistiques" is always pluralized in the general sense
abonné À quelque chose (I would drop it here honestly, to avoid repeating "histoires")
"qui sont du nouveau en attendant" would actually mean your readers ARE new things, in the meanwhile ("en attendant") so naturally that wouldn't make sense
were waiting = attendaient (the imparfait expresses the idea of an unaccomplished process that was still going in the past)

JMaintenant, je suis vraiment trop occupée maintenant pour la mettre à jour, mais je 'attends la fin d'es examens avec l'impatience pour rétourner à l'écrime remettre à l'écrire/pour m'y remettre.

je+vowel => j'
"avec impatience" without article (it's a set expression)
se mettre à = to start doing something, so "se REmettre à" = to start doing something again
y = à réécrire, here