Cette histoire parle de la vie de Jane Goodall , (qui étaitest) née en 1934.

"naître" is a verb in French, so you just need the passé composé here to make it a past action
or you can just use "née" as an adjective ("Jane Goodall, née en 1934")

Dans sa jeunesse, elle s’intéressait aux animaux et aussi deà l’Afrique.

s'intéresser à

En tant qu’une jeune femme de (la) classe moyenne, elle n’avait pas/n'a pas eu l’opportunité d’étudier à l’université.

Both tenses would be write, depending on how you want to conceive the action

Cependant, elle avait un ami qui l’a invitée à habiter avec lui en Afrique.

Agreement with of the past participle with the object when it stands before the auxiliary verb

Donc, elle aElle a donc déménagé au Kenya, où elle a rencontré Louis Leakey.

Stylistically speaking, the best position for "donc" rarely is the first one at the beginning of a setence

Jane voulait devenir scientifique, doncalors Louis Leakey l’a envoyée à Londres pour étudier les singes.

"alors" to avoid repeating "donc"

Quand elle aest retournée en Afrique, elle a commencé ses études dusur le comportement des chimpanzés.

Movement verbs require "être" as an auxiliary verbs => je suis allé, tu es retourné...
Except verbs emphasizing how the movement is done, such as "nager" or "courir". Those require "avoir" => j'ai couru, vous avez nagé...
"du" wouldn't be wrong in itself, but I'd rather say "des études SUR quelque chose" ("about", when it's about a specific object of study)

Elle a découvert beaucoup de choses sur la nature des chimpanzés, qui ne son'est pas très éloin de la naturgnée de celle des humains.

In the sense of "different, dissimilar", it's always "éloigné" (adjective)
"It would sound much better to say their nature isn't too different from ours, otherwise you'd be saying that "things are close to a given nature", which sounds somewhat off (at least in French)