Min sambo och jag ska söka efter en valpar (kanske en mittlespitz eller en eurasier).

"en valp" = obestämd singular
"valpar" = obestämd plural

Vi vill ha en snäll och rotrevligt hund.

"rolig" antyder att något verkligen får någon att skratta eller liknande (ungefär som "funny" på engelska, men inte "fun"). "trevlig" antyder att det kan få någon att känna sig glad eller liknande, utan att skratta (ungefär som "pleasant", "enjoyable" etc på engelska).
"hund" har n-genus, därför "trevlig" och inte "trevligt".

Vi bor i en lägenhet men har vi stora parker nära oss.

"i en lägenhet" är också helt ok, men "i lägenhet" låter i det här fallet något bättre som en beskrivning av er allmänna livssituation.

När jag växte upp, hade jag flermånga hundar och många katter.

Kommatecken behövs inte - det bryter upp meningen på ett onaturligt sätt.

"flera hundar och många katter" låter som en något onaturlig uppdelning, men jag kan tyvärr inte förklara varför. "flera hundar och katter" eller "många hundar och katter" funkar däremot. Eller så kan du precisera antalet, t ex "tre hundar och fem katter".

Min sambo är allergisk mot katter, så vi måste vi ha en hund!

Ordföljden måste vara "så vi måste" i det här fallet, och inte "så måste vi".