今(は)私の(アパトに一人です.ートで一人で暮らしています。) 今(は)私の(アパートで一人で暮らしています。)

I'd say translating "I live alone" as "一人で暮らしています" sounds more natural. 

今私のアパートに一人です.住んでいます。 今アパートに一人で住んでいます。

or 今、アパートで一人ぐらしをしています。 We usually say 一人です when we "are alone," because other family members are away at the moment, rather than "live alone."

今私のはアパートに一人です.住んでいます。 今私はアパートに一人で住んでいます。

今私のアパートに一人でいます. 今私のアパートに一人でいます.

（私の）ねこもいます。 （私の）ねこもいます。

でも、ねこは人じゃないですね。or (ですよね？) でも、ねこは人じゃないですね。or (ですよね？)

むかしむかし、かぞくのうちに(ずっと昔)、(実家に)母、父、と妹が(住んでいました)。 (ずっと昔)、(実家に)母、父、と妹が(住んでいました)。

My family’s house” is usually translated as “実家”.

むかし（むかし）、かぞくのうちに母、父、と妹がいました。 むかし（むかし）、かぞくのうちに母、父、と妹がいました。

むかしむかし is a fixed phrase used in the beginning of a children's story, like "Once upon a time..." Just むかし is more natural here. The original sentence is fine other than that. You could also say むかし、じっかに母、父、妹と住んでいました if you want to make it more natural.

むかしむかし、かぞくのうちに母、父、と妹がいました。 むかしむかし、かぞくに母、父、と妹がいました。