Aunque hay partes de mi trabajo las que me hacen sentir muy triste.

We don't use "las" and "que" together. If you want to do so, you have to use "las cuales," which are the correct words.

×× Hay cosas las que ella quisiera cambiar
☆ Hay cosas las cuales ella quisiera cambiar

×× Las cosas las que me hacen sentir orgulloso, son mis medallas.
☆ las cosas las cuales me hacen sentir orgulloso, son mis medallas.

Muchas de las residentes del asilo sonestan contentos, no obstante hay algunas que están sufriendo debido a los efectos del envejecimiento.

Remember, "son" or "es" is for permanent states, something that you can't change. I'm happy right now, but tomorrow, I could feel stressed or sad.

"Están", "estoy" or "estar" or temporal states.
Examples:
*Yo soy un hombre, ella es una mujer.
*Estoy emeocionado por este nuevo trabajo!
*Estoy algo ocupado ahora mismo ¿te puedo llamar otro día?
*Sus ojos eran de un color gris galaxia

Dijo muchas cosas tristes, no obstante el comentario, que fue lo más triste, era que ella ya no siente cómoque su cuerpo es suyao.

"Cuerpo" or "body" is always male.
*El cuerpo de ella es muy fuerte.
*Ella tiene un cuerpo muy pequeño

"Cómo" (with accent) is for exclamations or questions. "Que" is much better when you want to add a relative pronoun. A relative pronoun is used when you want to add more information about something that you've said. For example:

*Ella aveces piensa que la vida es buena (what's she thinking? Life is beautiful)
* Un día creí que conseguiría ese aumento de salario. (What he believed? That he would have a promotion)
*Aveces creo que todo lo que he logrado, ha valido la pena. (What does he believe? I need more information. He believes that everything that he's achieved was worth it.

El trabajo me parece /es muy emocionante.

There are three options gramatically correct:
El trabajo me parece muy emocionante.
El trabajo es muy emocionante.
Me parece que el trabajo es muy emocionante.

Mis compañeros han sido muy amables y acogedores.

It's correct, bur personally I don't hear the word "acogedor" too much.

Aunque hay partes de mi trabajo las que me hacen sentir muy triste.

Muchaos de las residentes del asilo soestán contentos, no obstante hay algunas quequienes están sufriendo debido a los efectos del envejecimiento.

"Muchos" if you want to talk about all the residents.
"Muchas" only if you want to talk about the female ones.

Other options for están contentos: son/se ven felices.

Dijo muchas cosas tristes, no obstante el comentario que fue lo más triste era que ella ya no siente cómo si su cuerpo esfuera suyao.

También hizo un comentario de que el estado actual de su vida no es nada como la vida debe ser, porque ella ha perdido mucha de su independencia debido a la degradación de la función de su cuerpo.

It's not gramatically correct, but it doesn't sound natural. You should try simplifying your ideas or vocabulary.
This option sounds better: "También comentó que su estado actual no es el que debería de tener porque ella ha perdido mucha de su independencia debido al envejecimiento.
I hope I didn't change the meaning of what you wanted to say! If so, let me know and explain me more detailed so that I can improve my correction.

Este trabajo es a veces es muy triste, pero a la misma vez es gratificante.

You can say both: "a la vez" or "al mismo tiempo."

Sé que estoy marcando una diferencia positiva en sus vidas, y esto vale la pena.

El trabajo me parece es muy emocionante.

Mis compañeros han sido muy amables y acogedorehospitalarios.

"Acogedores" es correcto, pero se usa más en ambientes, decoraciones, etc.

Aunque hay partes de mi trabajo las que me hacen sentir muy triste.

Muchas de las residentes del asilo soestán contentos, nas. No obstante, hay algunas que están sufriendo debido a los efectos del envejecimiento.

Por ejemplo, una anciana que conocí durante mi segundo turno estaba en la desesperactiene depresión.

Dijo muchas cosas tristes, no obstante el comentario que fue lo más tristepero el peor comentario era que ella ya no siente cómo su cuerpo escomo suya.o.

También hizo un comentario que el estado actual de su vida no es nada como la vida debe sersobre que su vida no es como esperaba, porque (ella) ha perdido mucha de su independencia debido a la degradación de la función de su cuerpo.

Gracias por leer y por sus correcciones.