آج بہت سردی ہے، لیکن بارش نہیں ہو رہی ہے۔ آج بہت سردی ہے، لیکن بارش نہیں ہو رہی ہے۔

Your Urdu writing is quite good. Here was a very small mistake of the word you did not write it.

میں بارش نہیں چاہتا۔ میں بارش نہیں چاہتا۔

It's correct.

خوش قسمتی سے، میں اندر کام کرتا ہوں۔ خوش قسمتی سے میں اندر کام کرتا ہوں۔

Urdu doesn't normally use commas to separate these kind of phrases.

خوش قسمتی سے، میں اندر کام کرتا ہوں۔ خوش قسمتی سے، میں اندر کام کرتا ہوں۔

It is right as well.