El sistema médico

Normalemente se dice «sistema sanitario».

Durante el chequeo, es imprescindible hacerse una análisis de sangre, un examen completo y pedir cualquier consejo al doctor sobre lo que le preocupae.

Muchas palabras de origen griego se volvieron masculinas en español, pero se mantuvieron femeninas en francés: emphase (f), pero énfasis (m); analyse (f), pero análisis (m); extase (f), pero éxtasis (m). Ten en cuenta, sin embargo, que esto no sucede con cultismos: la antífrasis (f), la acidosis (f), etc.
No estoy de seguro de qué querías decir con «que le preocupa», así que lo he corregido según lo que he interpretado: tú me dirás si está bien.

Me da pena de que la salud se haya convertido en un negocio en vez de ser un servicio social y empático.

Sin embargo, cada persona puede hacerse responsable porde su proprio bienestar sin depender del sistema para defenderse.

No estoy seguro de qué quieres decir con «defenderse», puesto que este verbo tiene una clara connotación bélica, de repeler un ataque. Si lo que quieres decir se acerca más a «vigilar» o «cuidarse», usaría éstos.