Vivo en un barrio tranquilo y muy cerca de ambos Nueva York y Boston.

Si tu intención es decir que vives cerca de Nueva York y Boston, no es necesario que digas "ambos"

Es un pequeño pueblo que es tranquilo, segurao, y bonito.

Al inicio de tu oración ya mencionas que "Es", si luego pones "que es" ya es redundar. Solo mencionas el verbo "SER" al inicio, y para las demás características usas las comas

Mi esposa y yo vivimos aquí hace dos años y no supiabíamos nada sobre ela pueblo antes de vienimosr.

los verbos que usas están bien, solo hay que conjugarlos de otra manera

La semana pasadoa los caompanñeros construyeron un nuevo mercado agrícola para vender verduras y frutas.

Estamos cerca de la costa y hay playas que teú puedes visitar.

otra forma mas natural sería "Estamos cerca de la costa y hay playas que uno puede visitar."

Las playas en el norte de Estados Unidos son bonitoas sinoya que estas no tienen demasiadas rocas.

No se entendió bien la intención de tu mensaje, espero que esa interpretación sea la correcta :(

Jugué futbol en ahí ayer.